Phương trình tích

Ta có ${\left( {2x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + 1 + x - 1} \right)\left( {2x + 1 - x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {0; - 2} \right\}$.

Nghiệm nhỏ nhất là $x =  - 2$ .

 Đặt ${x^2} + x = y,$ ta có:

$y\left( {y + 1} \right) = 6$$\Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0$$\Leftrightarrow {y^2} + 2y - 3y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 2} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 3\\y = 2\end{array} \right.$

+ Với $y =  - 3,$ ta có ${x^2} + x + 3 = 0,$ vô nghiệm vì:

${x^2} + x + 3 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0$

+ Với $y = 2$, ta có

$\begin{array}{l}{x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}$

Vậy $S = \left\{ { 1;-2} \right\}$ .

Thay $x =  - 7$ vào phương trình $\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43$ ta được:

$\left( {2m - 5} \right)\left( { - 7} \right) - 2{m^2} + 8 = 43\\ \Leftrightarrow  - 14m + 35 - 2{m^2} - 35 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 14m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 7\end{array} \right.$

Vậy $m = 0$ hoặc $m =  - 7$ thì phương trình có nghiệm $x =  - 7$ .

${\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} = {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} - {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{x^2} - 2x + 10 + 3{x^2} + 10x - 8} \right)\left( {5{x^2} - 2x + 10 - 3{x^2} - 10x + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8{x^2} + 8x + 2} \right)\left( {2{x^2} - 12x + 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8{x^2} + 8x + 2 = 0\\2{x^2} - 12x + 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\left( {2x + 1} \right)^2} = 0\\2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{2}\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}.$

Cộng $4{x^2}$ vào hai vế  ta được

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + 4{x^2} = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 2x + 1\\{x^2} + 1 =  - 2x - 1\end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} + 2x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$             

Vậy $S = \left\{ {0;2} \right\}$ , nghiệm lớn nhất là ${x_0} = 2 > 1$ .

Xét phương trình $\left( 1 \right):$$x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Xét phương trình $\left( 2 \right):$

$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0$

 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} + 4x + 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm $x =  - 1;\,x = 1$.