Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \({\left( {2x + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) là
Ta có \({\left( {2x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + 1 + x - 1} \right)\left( {2x + 1 - x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {0; - 2} \right\}\).
Nghiệm nhỏ nhất là \(x = - 2\) .
Tập nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 6\) là
Đặt \({x^2} + x = y,\) ta có:
\(y\left( {y + 1} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0 \)\(\Leftrightarrow {y^2} + 2y - 3y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 2} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\\y = 2\end{array} \right.\)
+ Với \(y = - 3,\) ta có \({x^2} + x + 3 = 0,\) vô nghiệm vì:
\({x^2} + x + 3 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\)
+ Với \(y = 2\), ta có
\(\begin{array}{l}{x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { 1;-2} \right\}\) .
Tìm m để phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43\) có nghiệm \(x = - 7\).
Thay \(x = - 7\) vào phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43\) ta được:
\(\left( {2m - 5} \right)\left( { - 7} \right) - 2{m^2} + 8 = 43\\ \Leftrightarrow - 14m + 35 - 2{m^2} - 35 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 14m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 7\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 0\) hoặc \(m = - 7\) thì phương trình có nghiệm \(x = - 7\) .
Tập nghiệm của phương trình
\({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} = {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2}\) là:
\({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} = {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} - {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{x^2} - 2x + 10 + 3{x^2} + 10x - 8} \right)\left( {5{x^2} - 2x + 10 - 3{x^2} - 10x + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8{x^2} + 8x + 2} \right)\left( {2{x^2} - 12x + 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8{x^2} + 8x + 2 = 0\\2{x^2} - 12x + 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\left( {2x + 1} \right)^2} = 0\\2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}.\)
Biết rằng phương trình \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1\) có nghiệm lớn nhất là \({x_0}\) . Chọn hẳng định đúng.
Cộng \(4{x^2}\) vào hai vế ta được
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + 4{x^2} = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 2x + 1\\{x^2} + 1 = - 2x - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} + 2x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ {0;2} \right\}\) , nghiệm lớn nhất là \({x_0} = 2 > 1\) .
Cho phương trình $\left( 1 \right):$ \(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right):\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\).
Chọn khẳng định đúng.
Xét phương trình $\left( 1 \right):$\(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\).
Xét phương trình \(\left( 2 \right):\)
\(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} + 4x + 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 1\).
