Phép đối xứng trục

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {3;0} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của $II'$  ta có \(H\left( {2;1} \right)\)

Trục đối xứng của $2$  đường tròn $\left( C \right)$  và $\left( {C'} \right)$ là đường thẳng đi qua $H$ và nhận \(\overrightarrow {II'}  = \left( {2; - 2} \right) = 2\left( {1; - 1} \right)\) là 1 VTPT \( \Rightarrow \) Trục đối xứng của $2$ đường tròn $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right)$ có phương trình \(1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 2 - y + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow y = x - 1\)

Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.

Trục \(Ox\) có phương trình \(y = 0.\)

Tọa độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \(Ox\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0} \right).\)

Vì \(A \in Ox\) nên qua phép đối xứng trục \(Ox\) biến thành chính nó, tức \(A' \equiv A\left( {2;0} \right).\)

Chọn điểm \(B\left( {1;1} \right) \in d \Rightarrow B'\left( {1; - 1} \right)\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng trục \(Ox\).

Vậy đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) đi qua hai điểm \(A'\left( {2;0} \right)\) và \(B'\left( {1; - 1} \right)\) nên có phương trình \(x - y - 2 = 0.\)

\(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right| = \left[ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array} \right.\)

\({d_1} \cap \left( {x = 1} \right) = A\left( {1;1} \right)\)

Lấy \(B\left( {2;2} \right) \in {d_1} \Rightarrow \) đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng \(x = 1\) có phương trình $y = 2$.

Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $x = 1$ và \(y = 2 \Rightarrow H\left( {1;2} \right)\)

Gọi $B'$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng \(x = 1 \Rightarrow H\) là trung điểm của  \(BB' \Rightarrow B'\left( {0;2} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng $AB'$ là \(\dfrac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow  - x + 1 = y - 1 \Leftrightarrow x + y = 2\)

\( \Rightarrow x + y = 2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $y = x$ qua đường thẳng $x = 1$.

\({d_2} \cap \left( {x = 1} \right) = C\left( {1; - 1} \right)\)

Lấy \(D\left( {0;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow \) Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với đường thẳng $x = 1$ có phương trình $y = 0$.

Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $x = 1$ và \(y = 0 \Rightarrow K\left( {1;0} \right)\)

Gọi $D'$  là điểm đối xứng với $D$ qua đường thẳng \(x = 1 \Rightarrow K\) là trung điểm của \(DD' \Rightarrow D'\left( {2;0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(CD'\) là : \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{{0 + 1}} \Leftrightarrow x - 1 = y + 1 \Leftrightarrow x - y = 2\)

\( \Rightarrow x - y = 2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y =  - x\) qua đường thẳng \(x = 1\)

 \( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - x + 2\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \left| {x - 2} \right|\)

Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $Cx$ ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}MA = MA'\\CA = CA'\end{array} \right. \) \( \Rightarrow MA + MB = MA' + MB \) \(> A'B = CA' + CB = CA + CB\)

Gọi $d$ là đường trung trực của cạnh đoạn thẳng $AC$.

Lấy $D'$  đối xứng với $D$ qua đường thẳng \(d \Rightarrow AD = CD';AD' = CD\)

\( \Rightarrow S = {S_{ABCD'}} = {S_{ABD'}} + {S_{BCD'}}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}{S_{ABD'}} = \dfrac{1}{2}AB.AD'.\sin \widehat {BAD'} \le \dfrac{1}{2}AB.AD' = \dfrac{1}{2}AB.CD\\{S_{BCD'}} = \dfrac{1}{2}BC.CD'.\sin \widehat {BCD'} \le \dfrac{1}{2}BC.CD' = \dfrac{1}{2}BC.AD\\ \Rightarrow S \le \dfrac{1}{2}\left( {AB.CD + BC.AD} \right)\end{array}\)

Gọi $p$ và $q$ là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ . Ta thấy ngay có hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ là các phép đối xứng trục ${D_p}$ và ${D_q}$.

Gọi $B',C'$ lần lượt là điểm đối xứng với $A$ qua trục $Ox$ và đường thẳng $y = x$ ta có : \(AB = BB',AC = CC'\)

Dễ thấy \(B'\left( {2; - 1} \right)\)

$AC'$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $y = x$ nên có phương trình $x + y-3 = 0$.

Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $y = x$ và \(x + y-3 = 0 \Rightarrow H\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\) là trung điểm của \(AC' \Rightarrow C'\left( {1;2} \right)\)

Chu vi tam giác $ABC$ là :

\(\begin{array}{l}C = AB + BC + CA = B'B + BC + CC' \ge B'C'\\ \Rightarrow {C_{\min }} = B'C' \Leftrightarrow B = Ox \cap B'C',\,\,C = \left( {y = x} \right) \cap B'C'\end{array}\)

Phương trình $B'C'$:

\(\dfrac{{x - 2}}{{1 - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{{2 + 1}} \Leftrightarrow  - x + 2 = \dfrac{{y + 1}}{3} \Leftrightarrow  - 3x + 6 = y + 1 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0\)

\( \Rightarrow B\left( {\dfrac{5}{3};0} \right),C\left( {\dfrac{5}{4};\dfrac{5}{4}} \right)\)

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow M\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 2 = 0\,\,\left( d \right)\).

Gọi \(A\left( {3;5} \right);B\left( {5;7} \right) \Rightarrow T = MA + MB\)

Ta cần tìm điểm \(M \in d\) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất.

Dễ thấy $A,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ ta có: \(MA = MA'\)

\( \Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B\)

\( \Rightarrow MA + MB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng hay \(M = A'B \cap d\).

Đường thẳng $AA'$  đi qua $A$ và vuông góc với $d$ nên có phương trình \(2x + y - 11 = 0\,\,\left( {d'} \right)\).

Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow \) Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\2x + y - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {4;3} \right)$ là trung điểm của \(AA' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 5\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_H} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {5;1} \right)\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng $A'B$  là : $x = 5$.

\( \Rightarrow MA + MB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M = A'B \cap d \Rightarrow \) Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {5;\dfrac{7}{2}} \right) \Rightarrow {T_{\min }} = 6\).

Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm $H$ qua một cạnh của nó thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đây là một kiến thức cơ bản. Tuy nhiên ta có thể chứng minh lại bài toán này như sau:

Kẻ các đường cao $AM,BN,CP$ và gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.

Ta có tứ giác $ANHP$ là một tứ giác nội tiếp, suy ra: $\widehat {PAN} + \widehat {PHN} = {180^o}$ hay $\widehat {BAC} + \widehat {BHC} = {180^o}$.

Mặt khác, có $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$ nên $\widehat {BDC} = \widehat {BHC}$.

Do đó: $\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^o}$.

Suy ra $D$ nằm trên đường tròn $\left( O \right)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$.

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow x - 2y - 5 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\Delta :\,\,\,2x + y + 6 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\).

Xét: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.2 + \left( { - 2} \right).1 = 0\) \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d \bot \Delta .\)

Vậy đường thẳng đối xứng với \(d\) qua \(\Delta \) vẫn chính là \(d:\,\,x - 2y - 5 = 0\).

\(D' = \) Đ\(_{AB}\left( D \right) \Rightarrow AB\) là trung trực của \(DD' \Rightarrow MD = MD'\) và \(\angle DMB = \angle D'MB = {45^0}\).

\( \Rightarrow \angle DMD' = {90^0} \Rightarrow \Delta MDD'\) vuông cân tại \(M\).

\( \Rightarrow \angle MDD' = {45^0}\).

Mà \(\angle MDD' = \dfrac{1}{2}\angle COD'\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(CD'\))

\( \Rightarrow \angle COD' = {90^0} \Rightarrow \Delta OCD'\) vuông cân tại \(O\).

Do $O\in AB$ là trung trực của \(DD'\Rightarrow OD=OD'=R\Rightarrow D'\in \left( O;R \right)\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OCD'\) ta có : \(CD{{'}^{2}}=O{{C}^{2}}+OD{{'}^{2}}={{R}^{2}}+{{R}^{2}}=2{{R}^{2}}\).

Ta có \(\angle DMD' = {90^0}\) (cmt) \( \Rightarrow \angle CMD' = {90^0} \Rightarrow \Delta CMD'\) vuông tại \(M\).

 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(CMD'\) ta có : \(M{C^2} + MD{'^2} = CD{'^2} = 2{R^2}\).

Khẳng định đúng là B.