Cho $x,y$ thỏa mãn \(x - 2y + 2 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} \)

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow M\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 2 = 0\,\,\left( d \right)\).

Gọi \(A\left( {3;5} \right);B\left( {5;7} \right) \Rightarrow T = MA + MB\)

Ta cần tìm điểm \(M \in d\) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất.

Dễ thấy $A,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ ta có: \(MA = MA'\)

\( \Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B\)

\( \Rightarrow MA + MB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng hay \(M = A'B \cap d\).

Đường thẳng $AA'$  đi qua $A$ và vuông góc với $d$ nên có phương trình \(2x + y - 11 = 0\,\,\left( {d'} \right)\).

Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow \) Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\2x + y - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {4;3} \right)$ là trung điểm của \(AA' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 5\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_H} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {5;1} \right)\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng $A'B$  là : $x = 5$.

\( \Rightarrow MA + MB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M = A'B \cap d \Rightarrow \) Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {5;\dfrac{7}{2}} \right) \Rightarrow {T_{\min }} = 6\).