Bài tập ôn tập chương 1

Ta có:

\(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 }  + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 }  + 2.\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } .\sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3  - 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 3  + 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}\)

Thay \(x = \sqrt 3  + 1\) thì: 

\(\begin{array}{l}P = x\left( {2 - x} \right) = 2x - {x^2}\\P = 2.\left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)\\P = 2\sqrt 3  + 2 - 4 - 2\sqrt 3  =  - 2\end{array}\)

Vậy \(P =  - 2\).

Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)

Thay \(x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25}  + 1}} = \dfrac{5}{6}.\)

Vậy \(x = 25\) thì \(A = \dfrac{5}{6}.\)

Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9,\) ta có:
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x - 9 - x + 4 + x - 4\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)

Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)
\(\begin{array}{l}\left( {x - 9} \right).B < 2x \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right).\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} < 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 < 2x \Leftrightarrow 2x - \sqrt x - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2\sqrt x - 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x - 3 > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x > \dfrac{9}{4}.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện, ta được \(x > \dfrac{9}{4};x \ne 4;x \ne 9\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy \(x > \dfrac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Thay \(a = 16\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(A\)ta được:
\(A = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }} = \dfrac{{16 - 4}}{{16 + 2\sqrt {16} }} = \dfrac{{12}}{{16 + 2.4}} = \dfrac{{12}}{{24}} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy khi \(a = 16\) thì \(A = \dfrac{1}{2}.\)

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{a - 4}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right) + \left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5a + 10\sqrt a  + a - 3\sqrt a  + 2 - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\)

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)
\(P = A.B = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}.\dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}\)\( = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 7} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = \dfrac{{\sqrt a + 2 + 5}}{{\sqrt a + 2}}\)\( = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} > 1\)
Ta có: với \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \sqrt a + 2 > 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < 1 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow 1 < P < \dfrac{7}{2}\end{array}\)
Mà \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow P = \left\{ {2;\,\,3} \right\}.\)
+) Với \(P = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\left( {\sqrt a + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\sqrt a + 4\)\( \Leftrightarrow \sqrt a = 3 \Leftrightarrow a = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\)
+) Với \(P = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\left( {\sqrt a + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\sqrt a + 6\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt a = 1 \Leftrightarrow \sqrt a = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A ta được: \(A = \dfrac{{4\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  - 5}} = \dfrac{{4.3}}{{3 - 5}} = \dfrac{{12}}{{ - 2}} =  - 6\)

Vậy với x = 9 thì \(A =  - 6\).

Với \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x  - 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \sqrt x  - 1 + 5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 4 + \sqrt x  - 1 + 5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)  khi \(x > 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 25.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 25.\)

Ta có: \(M = \dfrac{A}{B} = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\) \( = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}}.\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\)\( = \dfrac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 5}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M < 4 \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 5}} < 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 5}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 5}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2 - \sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  - 5}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{{\sqrt x  - 5}} < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  - 5 < 0\,\,\,\,\,\,\left( {do\,7 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 5\\ \Leftrightarrow x < 25\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\) ta được \(0 < x < 25\) và \(x \ne 1\).

Mà x là số tự nhiên lớn nhất nên \(x = 24\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(x = 24\).

Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2.\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sqrt {x - 4\left( {x - 1} \right)}  + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}.\left( {1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1}  + 1}  + \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  + 1} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  + 1} \right|}}{{\left| {x - 2} \right|}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\end{array}\)

+) Nếu \(1 < x < 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| = 1 - \sqrt {x - 1} \)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{1 - \sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 1}  + 1}}{{ - \left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \dfrac{2}{{2 - x}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\)

+) Nếu \(x > 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1}  - 1} \right| = \sqrt {x - 1}  - 1\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{\sqrt {x - 1}  - 1 + \sqrt {x - 1}  + 1}}{{x - 2}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \dfrac{{2\sqrt {x - 1} }}{{x - 2}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)

Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,1 < x < 2\\\dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)

TH1: Nếu \(1 < x < 2\) thì \(A = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\).

Để A  nhận giá trị nguyên thì \(x - 1\) phải là ước dương của 2 (vì \(x\) nguyên và \(x > 1)\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\\x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3\end{array} \right.\), không thỏa mãn \(1 < x < 2\).

TH2: Nếu \(x > 2\) thì \(A = \dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)

Vì \(x\) nguyên, \(x > 2\) nên \(x - 1\) nguyên và \(x - 1 > 1\).

Nếu \(x - 1\) không là số chính phương thì \(A\) là số vô tỉ.

Nếu \(x - 1\) là số chính phương, \(A\) nhận giá tri nguyên nên \(\sqrt {x - 1} \) là ước lớn hơn 1 của 2

\( \Rightarrow \sqrt {x - 1}  = 2 \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x = 5\) thì \(A\) nhận giá tri nguyên.

Theo đề bài ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1}  - y} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1}  - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1}  - y} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = 2\left[ {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1}  + xy} \right) - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1}  + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1}  + xy} \right) + \left( {x\sqrt {{y^2} + 1}  + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 2\,\,\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1}  + xy} \right) + 2\left( {x\sqrt {{y^2} + 1}  + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta được:  \( - 4\left( {x\sqrt {{y^2} + 1}  + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) =  - 3\)\( \Rightarrow x\sqrt {{y^2} + 1}  + y\sqrt {{x^2} + 1}  = \dfrac{3}{4}.\)

Vậy \(Q = \dfrac{3}{4}.\)

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3 + \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) - \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x  + 3 + x + \sqrt x  - 2 - 2x - \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 5x - 9\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \dfrac{{ - 5x - 10\sqrt x  + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 5\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {1 - 5\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \dfrac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}\)

Vậy \(A= \dfrac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\) với \(x \ge 0.\)

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

Ta có: \(A = \dfrac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} =  - 5 + \dfrac{6}{{\sqrt x  + 1}}.\)

Với mọi \(x \ge 0\) ta có: \(\sqrt x  + 1 \ge 1\) nên \(\dfrac{6}{{\sqrt x  + 1}} \le 6\)

Do đó \(A =  - 5 + \dfrac{6}{{\sqrt x  + 1}} \le 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 1 khi \(x = 0.\)