Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x  - 2}}\) với \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\)

Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất sao cho \(\dfrac{A}{B} < 4\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 25.\)

Ta có: \(M = \dfrac{A}{B} = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\) \( = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}}.\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\)\( = \dfrac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 5}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M < 4 \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 5}} < 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 5}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 5}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2 - \sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  - 5}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{{\sqrt x  - 5}} < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  - 5 < 0\,\,\,\,\,\,\left( {do\,7 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 5\\ \Leftrightarrow x < 25\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\) ta được \(0 < x < 25\) và \(x \ne 1\).

Mà x là số tự nhiên lớn nhất nên \(x = 24\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(x = 24\).