Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Câu 61 Trắc nghiệm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Cho biết $BH = 4cm,CH = 9cm$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AB$ và $AC$. Các đường thẳng vuông góc với $DE$ tại $D$$E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . (hình vẽ)

Kết luận nào sau đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

+) Ta có $\widehat {NEC} + \widehat {AED} = 90^\circ $$\widehat {AED} = \widehat {HAE}$ (do $AEHD$ là hình chữ nhật) và $\widehat {HAE} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$)  nên $\widehat {NEC} + \widehat {ABC} = 90^\circ $$\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ nên $\widehat {ACB} = \widehat {NEC}$ hay $\Delta NEC$ cân tại $N$$ \Rightarrow EN = NC$.$\left( 1 \right)$
+) $\widehat {NEC} + \widehat {HEN} = 90^\circ $$\widehat {NEC} = \widehat {NCE} \Rightarrow \widehat {NCE} + \widehat {HEN} = 90^\circ $, lại có $\widehat {NCE} + \widehat {NHE} = 90^\circ $ nên $\widehat {NEH} = \widehat {NHE}$ hay $\Delta NEH$ cân tại $N$ suy ra $NE = NH$, $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có $NH = NC$

Tương tự ta có $MH = MB$ nên $MN = MH + NH = \dfrac{1}{2}HB + \dfrac{1}{2}HC = \dfrac{1}{2}BC$.

Câu 62 Trắc nghiệm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Cho biết $BH = 4cm,CH = 9cm$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AB$ và $AC$. Các đường thẳng vuông góc với $DE$ tại $D$$E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . (hình vẽ)

Tính diện tích tứ giác $DENM$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

$DM \bot DE;$$EN \bot DE \Rightarrow DM{\rm{//}}EN;$$\widehat D = \widehat E = 90^\circ $ nên $DENM$ là hình thang vuông

Theo kết quả hai câu trước ta có: $DM = \dfrac{{BH}}{2} = 2;$$EN = \dfrac{{CH}}{2} = 4,5;DE = 6$

Nên ${S_{DENM}} = \dfrac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} $$= 19,5\,c{m^2}$

Câu 63 Trắc nghiệm

Cho tam giác $CDE$ nhọn, đường cao $CH.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $H$ lên $CD,CE.$ (hình vẽ)

Tích $CD.CM$ bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Tam giác $CHD$ vuông tại $H$, ta có $C{H^2} = CM.CD$

Tam giác $CHE$ vuông tại $H$, ta có $C{H^2} = CN.CE$

Nên $CM.CD = CN.CE$.

Câu 64 Trắc nghiệm

Cho tam giác $CDE$ nhọn, đường cao $CH.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $H$ lên $CD,CE.$ (hình vẽ)

Tam giác $CMN$ đồng dạng với tam giác nào dưới đây?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Từ câu trước ta có $CM.CD = CN.CE $$\Leftrightarrow \dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{CE}}{{CD}}$

Xét $\Delta CMN$$\Delta CED$$\widehat C$ chung và $\dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{CE}}{{CD}}$ nên $\Delta CMN\backsim\Delta CED\,\,\left( {c - g - c} \right)$

Câu 65 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 30cm\) và \(AC = 40cm\), đường cao \(AH\), trung tuyến \(AM\).

Tính \(BH,\,\,HM,\,\,MC.\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\) \( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,cm.\)

Vì \(AM\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow M\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow BM = MC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.50 = 25\,\,cm.\)

Ta có: \(MH = BM - BH = 25 - 18 = 7\,\,cm.\)

Câu 66 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 30cm\) và \(AC = 40cm\), đường cao \(AH\), trung tuyến \(AM\).

Tính \(AH.\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,cm.\)

Câu 67 Trắc nghiệm

Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Qua B vẽ đường thẳng song song với \(AC\) , cắt \(DC\)  ở \(E\) . Gọi \(BH\)  là đường cao của hình thang. Ta có \(BE//AC,AC \bot BD\)  nên  \(BE \bot BD\)

  Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông \(BDH\) , ta có: \(B{H^2} + H{D^2} = B{D^2}\)

\( \Rightarrow {12^2} + H{D^2} = {15^2} \Rightarrow H{D^2} = 81 \Rightarrow HD = 9cm\)

  Xét tam giác \(BDE\) vuông tại \(B\):

\(B{D^2} = DE.DH \Rightarrow {15^2} = DE.9 \Rightarrow DE = 25(cm)\)

Ta có: \(AB = CE\)  nên \(AB + CD = CE + CD = DE = 25cm\)

Do đó: \({S_{ABCD}} = 25.12:2 = 150(c{m^2})\)

Câu 68 Trắc nghiệm

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), kẻ đường cao \(AH\) và \(CK\) . Biết \(AH = 7,5cm;\,\,\,CK = 12cm.\) Tính \(BC,AB\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Đặt \(BH = x\,\,\,\,\left( {x > 0,\,\,\,cm} \right)\)

Ta có:  \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}CK.AB\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AH.BC = CK.AB\\ \Leftrightarrow 7,5.2x = 12.AB \Leftrightarrow AB = \dfrac{5}{4}x\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{16}}{x^2} = {x^2} + 7,{5^2} \Leftrightarrow \dfrac{9}{{16}}{x^2} = 7,{5^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10\)\( \Rightarrow AB = \dfrac{5}{4}.10 = 12,5\,\,cm\)

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC = 2BH = 20cm\)

Câu 69 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,AC\). Biết \(HM = 15cm,HN = 20cm\). Tính \(HB,HC,AH\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(M\) là trung điểm \(AB\) 

\( \Rightarrow HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\)

\( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AB \Leftrightarrow AB = 2HM = 2.15 = 30\,\,\left( {cm} \right)\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có: \(N\) là trung điểm \(AC\)

\( \Rightarrow HN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\)

\( \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AC \Leftrightarrow AC = 2HN = 2.20 = 40\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(HC = BC - BH = 50 - 18 = 32\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,\left( {cm} \right)\)

Câu 70 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 6cm\) và \(AC = 8cm\) . Các phân giác trong và ngoài của góc \(B\) cắt đường thẳng \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính các đoạn thẳng \(AM\) và \(AN\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\)

Vì \(BM\) là tia phân giác trong của góc \(B \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) (Tính chất đường phân giác) 

\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC + MA}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}} \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{8} = \dfrac{6}{{10 + 6}} \Rightarrow MA = 3cm\)

Vì \(BM;BN\) là tia phân giác trong và ngoài của góc \(B \Rightarrow \angle NBM = {90^0}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BA\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\)\( \Leftrightarrow {6^2} = 3.AN \Leftrightarrow AN = 12\left( {cm} \right)\)

Câu 71 Trắc nghiệm

Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(5\), còn đường cao tương ứng cạnh huyền là \(2.\)  Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Giả sử tam giác đã cho là \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có \(AB < AC,\,\,\,BC = 5,\,\,\,AH = 2.\)

Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {0 < x < 2,5} \right) \Rightarrow HC = 5 - x.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH \Leftrightarrow {2^2} = x\left( {5 - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A{B^2} = BC.BH = 5.1 = 5 \Leftrightarrow AB = \sqrt 5 .\)

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác đã cho có độ dài là \(\sqrt 5 .\)

Câu 72 Trắc nghiệm

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4.\) Biết đường cao \(AH = 18\,\,cm.\)

Tính chu vi \(\Delta ABC\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Theo đề bài ta có: các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}\\ \Leftrightarrow 18 = \dfrac{{\dfrac{3}{4}AC.AC}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{16}}A{C^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}A{C^2}}}{{\dfrac{5}{4}AC}} = \dfrac{3}{5}AC\\ \Leftrightarrow AC = \dfrac{{18.5}}{3} = 30\,\,cm.\\ \Rightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.30 = 22,5\,\,cm.\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {22,{5^2} + {{30}^2}}  = 37,5\,\,cm.\)

\( \Rightarrow \) Chu vi \(\Delta ABC:\,\,\,AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37,5 = 90\,\,cm.\)

Câu 73 Trắc nghiệm

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4.\) Biết đường cao \(AH = 18\,\,cm.\)

Tính diện tích \(\Delta ABC\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.18.37,5 = 337,5\,\,c{m^2}.\)

Câu 74 Trắc nghiệm

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3cm,\,AC = 4cm,\,\) đường cao \(AH\) và đường trung tuyến \(AM\). Độ dài đoạn thẳng \(HM\) là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC:\,\,BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\,\left( {cm} \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC:\,\,A{B^2} = BC.BH \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{9}{5}\,\,\left( {cm} \right)\).

\(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy \( \Rightarrow HM = BM - BH = \dfrac{7}{{10}}\,\,\left( {cm} \right)\)

Câu 75 Trắc nghiệm

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(AH\) . Biết \(AB = 10cm;\,AH = 6cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC,BC\) của tam giác \(ABC\). 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABH\) vuông tại H. Ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow B{H^2} = {8^2}\\ \Rightarrow BH = 8\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) có AH là đường cao

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\\ \Rightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{10}^2}}}{8} = \dfrac{{100}}{8} = 12,5\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 12,{5^2} - {10^2} = 56,25\\ \Rightarrow AC = 7,5\,\,\,\,\left( {cm} \right).\end{array}\)

Vậy: \(AC = 7,5\,\left( {cm} \right);\,\,\,\,BC = 12,5\,\left( {cm} \right).\)