Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4.\) Biết đường cao \(AH = 18\,\,cm.\)
Tính chu vi \(\Delta ABC\).
Trả lời bởi giáo viên
Theo đề bài ta có: các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}\\ \Leftrightarrow 18 = \dfrac{{\dfrac{3}{4}AC.AC}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{16}}A{C^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}A{C^2}}}{{\dfrac{5}{4}AC}} = \dfrac{3}{5}AC\\ \Leftrightarrow AC = \dfrac{{18.5}}{3} = 30\,\,cm.\\ \Rightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.30 = 22,5\,\,cm.\end{array}\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {22,{5^2} + {{30}^2}} = 37,5\,\,cm.\)
\( \Rightarrow \) Chu vi \(\Delta ABC:\,\,\,AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37,5 = 90\,\,cm.\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh của \(\Delta ABC\) sau đó áp dụng các công thức tính chu vi tam giác giác để tính.