Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Cho biết $BH = 4cm,CH = 9cm$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AB$ và $AC$. Các đường thẳng vuông góc với $DE$ tại $D$ và $E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . (hình vẽ)

Kết luận nào sau đây là đúng?

+) Ta có $\widehat {NEC} + \widehat {AED} = 90^\circ $ mà $\widehat {AED} = \widehat {HAE}$ (do $AEHD$ là hình chữ nhật) và $\widehat {HAE} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$)  nên $\widehat {NEC} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ mà $\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ nên $\widehat {ACB} = \widehat {NEC}$ hay $\Delta NEC$ cân tại $N$$ \Rightarrow EN = NC$.$\left( 1 \right)$
+) $\widehat {NEC} + \widehat {HEN} = 90^\circ $ mà $\widehat {NEC} = \widehat {NCE} \Rightarrow \widehat {NCE} + \widehat {HEN} = 90^\circ $, lại có $\widehat {NCE} + \widehat {NHE} = 90^\circ $ nên $\widehat {NEH} = \widehat {NHE}$ hay $\Delta NEH$ cân tại $N$ suy ra $NE = NH$, $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có $NH = NC$

Tương tự ta có $MH = MB$ nên $MN = MH + NH = \dfrac{1}{2}HB + \dfrac{1}{2}HC = \dfrac{1}{2}BC$.