Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), kẻ đường cao \(AH\) và \(CK\) . Biết \(AH = 7,5cm;\,\,\,CK = 12cm.\) Tính \(BC,AB\).

Đặt \(BH = x\,\,\,\,\left( {x > 0,\,\,\,cm} \right)\)

Ta có:  \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}CK.AB\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AH.BC = CK.AB\\ \Leftrightarrow 7,5.2x = 12.AB \Leftrightarrow AB = \dfrac{5}{4}x\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{16}}{x^2} = {x^2} + 7,{5^2} \Leftrightarrow \dfrac{9}{{16}}{x^2} = 7,{5^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10\)\( \Rightarrow AB = \dfrac{5}{4}.10 = 12,5\,\,cm\)

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC = 2BH = 20cm\)