Cho phương trình ẩn x: \({x^2} - 5x + \left( {m - 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\).
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 5} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\5 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}33 - 4m > 0\\m > 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{{33}}{4}\).
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right) = 3\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) = 9{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 + 2\sqrt {m - 2} } \right) = 9\left( {m - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {m - 2} \right) - 8\sqrt {m - 2} - 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {m - 2} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình (*) trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,9{t^2} - 8t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} - 18t + 10t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{t^2} - 18t} \right) + \left( {10t - 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9t\left( {t - 2} \right) + 10\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {9t + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\9t + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{10}}{9}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 2\) \( \Rightarrow \sqrt {m - 2} = 2 \Leftrightarrow m - 2 = 4 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy \(m = 6\).
Cho phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
\(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}\)
Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)
Ta có: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{2020}}{{2021}}.\)
Cho phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
\(x_1^2 + x_2^2\)
Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) \( = {2020^2} - 2.2021 = 4076358\)
Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức
\(\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} \ne 1,\,\,{x_2} \ne 1\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 + 5 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\m + 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m < 33\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m \ne - 4\end{array} \right.\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}.{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1} + 1 + x_2^2 - 2{x_2} + 1 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Rightarrow 25 - 2\left( {m - 2} \right) - 2.\left( { - 5} \right) + 2 = {\left( {m - 2 + 5 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 - 2m + 4 + 10 + 2 = {\left( {m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2m + 41 = {m^2} + 8m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 25 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Ta có: \({\Delta _m} = {\left( { - 5} \right)^2} - \left( { - 25} \right) = 50 > 0\), do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
\(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{ - 10 + \sqrt {50} }}{2} = - 5 + 5\sqrt 2 \\{m_1} = \dfrac{{ - 10 - \sqrt {50} }}{2} = - 5 - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \).
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0.\)
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 2\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 + 2{x_1} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = - 2\left( {{x_1} - 2} \right)\end{array}\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 2\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m - 5 - 2\left( {2m - 2} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m - 1 - 4m + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m \ge - 3\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Vậy \(m \le \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m - 2.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 3\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right):\) \( - {x^2} = x + m - 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x + m - 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta = 1 - 4\left( {m - 2} \right) = 9 - 4m\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta > 0\)\( \Leftrightarrow 9 - 4m > 0\)\( \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}\)
Với \(m < \dfrac{9}{4}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 < 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} < 3\\ \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right) < 3\\ \Leftrightarrow 1 - 2m + 4 < 3\\ \Leftrightarrow 2m > 2\\ \Leftrightarrow m > 1\end{array}\)
Kết hợp với điều kện \(m < \dfrac{9}{4}\) ta được: \(1 < m < \dfrac{9}{4}\) thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \({x^2} + 4x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\)là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right).\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\) \( \Leftrightarrow 4 + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 4.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = 4\left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{m}\left[ {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 2m} \right] = 4\left( {m + 2} \right)\,\, & \,\left( {m \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {16 + 2m} \right)}}{m} = 4\left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 16 + 2m = m\left( {m + 2} \right) & \\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 4,\,\,m = - 4\) thỏa mãn bài toán.
Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)
Phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;{x_2} = 3\) nên thay hai giá trị đó vào phương trình sẽ thỏa mãn:
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 2} \right)^2} - 2b + c = 0\\{3^2} + 3b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - c = 4\\3b + c = - 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - c + 3b + c = 4 + \left( { - 9} \right)\\2b - c = 4\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b = - 5\\c = 2b - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\c = - 6\end{array} \right.\)
Vậy \(b = - 1;c = - 6\) thì thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\). Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2} < 6\).
Xét phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta = {(2m - 3)^2} - 4({m^2} - 3m) = 9 > 0\,\,\,\forall m\).
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt\({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\)
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m - 3\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\,\,\,.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}1 < {x_1} < {x_2} < 6 \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 1)({x_2} - 1) > 0\\{x_1} + {x_2} > 1\\({x_1} - 6)({x_2} - 6) > 0\\{x_1} + {x_2} < 12\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 > 0\\{x_1} + {x_2} > 1\\{x_1}{x_2} - 6({x_1} + {x_2}) + 36 > 0\\{x_1} + {x_2} < 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2m + 3 + 1 > 0\\2m - 3 > 1\\{m^2} - 3m - 6(2m - 3) + 36 > 0\\2m - 3 < 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 4 > 0\\2m > 4\\{m^2} - 15m + 54 > 0\\2m < 15\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 4\end{array} \right.\\m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m < 6\\m > 9\end{array} \right.\\m < \dfrac{{15}}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow 4 < m < 6\end{array}\)
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2 \Leftrightarrow x_1^3 - x_2^3 - \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\{\left( {2m + 2} \right)^2} - 4m - 2m - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\4{m^2} + 8m + 4 - 6m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\4{m^2} + 2m + 2 = 0\,(Vô\, nghiệm)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \({x^2} + 4\left( {m - 1} \right)x - 12 = 0\,\,\left( * \right),\) với \(m\) là tham số
Giải phương trình (*) khi \(m = 2\) ta được tập nghiệm là:
Thay \(m = 2\) vào phương trình (*) ta có:
\({x^2} + 4\left( {2 - 1} \right)x - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 12 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {2^2} + 12 = 16 = {4^2} > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2 + 4 = 2\\x = - 2 - 4 = - 6\end{array} \right.\).
Vậy với \(m = 2\) thì tập nghiệm của phương trình (*) là \(S = \left\{ {2; - 6} \right\}\).
Cho phương trình \({x^2} + 4\left( {m - 1} \right)x - 12 = 0\,\,\left( * \right),\) với \(m\) là tham số
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(4\left| {{x_1} - 2} \right|\sqrt {4 - m{x_2}} = {\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 8} \right)^2}\) là:
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 12 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).
Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 4\left( {m - 1} \right)\, = 4\left( {1 - m} \right)\,\,(1)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên:
\(\begin{array}{l}{x_2}^2 + 4\left( {m - 1} \right){x_2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 + 4m{x_2} - 4{x_2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 + 4\left( {m{x_2} - 4} \right) - 4{x_2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {4 - m{x_2}} \right) = x_2^2 - 4{x_2} + 4 = {\left( {{x_2} - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4 - m{x_2}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - 2} \right)}^2}} = \left| {{x_2} - 2} \right|\end{array}\)
Khi đó ta có:
\(4\left| {{x_1} - 2} \right|\sqrt {4 - m{x_2}} = {\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 8} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left| {{x_1} - 2} \right|\left| {{x_2} - 2} \right| = {\left[ {4\left( {1 - m} \right) + 12 - 8} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 2\left| {{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right| = {\left( {8 - 4m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left| { - 12 - 2.4\left( {1 - m} \right) + 4} \right| = 64 - 64m + 16{m^2}\\ \Leftrightarrow \left| { - 16 + 8m} \right| = 8\left( {{m^2} - 4m + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = {\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - {\left( {m - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2}.\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 1} \right] = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m - 2 = 1\\m - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\\m = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\) là các giá trị thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (Với \(m\) là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\).
Các giá trị m thỏa mãn viết theo thứ tự từ bé đến lớn là m=
và m=
Các giá trị m thỏa mãn viết theo thứ tự từ bé đến lớn là m=
và m=
Ta có: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (1)
Phương trình (1) có: \(\Delta ' = {(m - 1)^2} - m + 3 = {m^2} - 3m + 4 = {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).
Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m - 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\)
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\\ \Rightarrow {\left( {2m - 2} \right)^2} - 4.\left( {m - 3} \right) = 16\\ \Rightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 4m + 12 = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m = 0\\ \Leftrightarrow 4m\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\).
