Cho phương trình \({x^2} + 4\left( {m - 1} \right)x - 12 = 0\,\,\left( * \right),\) với \(m\) là tham số

Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(4\left| {{x_1} - 2} \right|\sqrt {4 - m{x_2}}  = {\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 8} \right)^2}\) là:

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 12 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} =  - 4\left( {m - 1} \right)\, = 4\left( {1 - m} \right)\,\,(1)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} =  - 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên:

\(\begin{array}{l}{x_2}^2 + 4\left( {m - 1} \right){x_2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 + 4m{x_2} - 4{x_2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 + 4\left( {m{x_2} - 4} \right) - 4{x_2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {4 - m{x_2}} \right) = x_2^2 - 4{x_2} + 4 = {\left( {{x_2} - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4 - m{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_2} - 2} \right)}^2}}  = \left| {{x_2} - 2} \right|\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(4\left| {{x_1} - 2} \right|\sqrt {4 - m{x_2}}  = {\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - 8} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left| {{x_1} - 2} \right|\left| {{x_2} - 2} \right| = {\left[ {4\left( {1 - m} \right) + 12 - 8} \right]^2}\\ \Leftrightarrow 2\left| {{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right| = {\left( {8 - 4m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left| { - 12 - 2.4\left( {1 - m} \right) + 4} \right| = 64 - 64m + 16{m^2}\\ \Leftrightarrow \left| { - 16 + 8m} \right| = 8\left( {{m^2} - 4m + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = {\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - {\left( {m - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2}.\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 1} \right] = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m - 2 = 1\\m - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\) là các giá trị thỏa mãn bài toán.