Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm  hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2 \Leftrightarrow x_1^3 - x_2^3 - \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\{\left( {2m + 2} \right)^2} - 4m - 2m - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\4{m^2} + 8m + 4 - 6m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\4{m^2} + 2m + 2 = 0\,(Vô\, nghiệm)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.