Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 5

Lượng muối có trong \(400g\) nước biển là: \(4\% .400 = 16\) gam

Vì lượng muối không đổi nên lượng nước trong dung dịch \(2\% \) là: \(16:0,2 \times 100 = 800\) gam

Lượng nước cần thêm vào là: \(800 - 400 = 400\) gam

Từ có nghĩa trái ngược với nóng là: lạnh

Vì \(AE = 2cm;AC = 6cm \Rightarrow EC = 4cm\)

Lại có \(K\) là trung điểm \(EC\) nên \(EK = KC = \dfrac{{EC}}{2} = 2cm\)

Ta có: \(AE = EK = KC = {\rm{ }}2cm\)

Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(A.\) Theo định lý Pytago ta có \(B{E^2} = A{B^2} + A{E^2}\)\( = {2^2} + {2^2} = 8\).

Suy ra: \(BE = 2\sqrt 2 \,cm\).

Từ đó suy ra: \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \) và \(\dfrac{{CE}}{{EB}} = \dfrac{4}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Từ câu trước ta có: \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \sqrt 2 ;\dfrac{{CE}}{{EB}} = \sqrt 2 \) suy ra: \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{CE}}{{EB}}\)

Xét tam giác \(\Delta BEK\)và \(\Delta CEB\) có:

+) \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{CE}}{{EB}}\)

+) \(\widehat {CEB}\) chung

Suy ra: \(\Delta BEK \backsim \Delta CEB\) (c – g - c)

Tam giác \(EBA\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {BEA} = {45^0}.\)

Từ câu trước ta có: \(\Delta BEK \backsim \Delta CEB\)

Suy ra: \(\widehat {BKE} = \widehat {CBE}\)

Do đó: \(\widehat {BKE} + \widehat {BCE} = \widehat {CBE} + \widehat {BCE}\)

Ta lại có: \(\widehat {BEA}\)là góc ngoài của tam giác \(EBC\) nên  \(\widehat {CBE} + \widehat {BCE} = \widehat {BEA} = {45^0}\)

 Nên \(\widehat {BKE} + \widehat {BCE} = {45^0}.\)

+ Từ viết sai : xẵn xàng

+ Viết đúng : sẵn sàng

Bổ đề: Với x,y dương là hai số bất kỳ thì: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\).

Chứng minh: Vì x, y dương nên \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y thỏa mãn yêu cầu.

Áp dụng bổ đề trên ta có: \(\dfrac{4}{{2x + y + z}} = \dfrac{4}{{\left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right)}} \le \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}\).

Cũng có: \(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\).

Do đó: \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\).

Tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)

                                                                                        \(\)

\(\dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\).

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên kết hợp với điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\) ta có:

\(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\)\( \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\)

\(P \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{4}{z}} \right) = \dfrac{1}{{16}}.4\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)\( = \dfrac{1}{4}.4 = 1\).

Hay \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}} \le 1\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = x + z\\x + y = y + z\\x + z = y + z\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{3}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\) là \(1.\)

Xét: \(B = \dfrac{1}{{5.10}} + \dfrac{1}{{10.15}} + \dfrac{1}{{15.20}} + ... + \dfrac{1}{{90.95}} + \dfrac{1}{{95.100}}\)

Thì \(5B = \dfrac{5}{{5.10}} + \dfrac{5}{{10.15}} + \dfrac{5}{{15.20}} + ... + \dfrac{5}{{90.95}} + \dfrac{5}{{95.100}}\)

Ta có: \(\dfrac{5}{{5.10}} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{10}}\)

\(\dfrac{5}{{10.15}} = \dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{15}}\)

\(\dfrac{5}{{15.20}} = \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{20}}\)

…

\(\dfrac{5}{{90.95}} = \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{95}}\)

\(\dfrac{5}{{95.100}} = \dfrac{1}{{95}} - \dfrac{1}{{100}}\)

Suy ra:  \(5B = \dfrac{5}{{5.10}} + \dfrac{5}{{10.15}} + \dfrac{5}{{15.20}} + ... + \dfrac{5}{{90.95}} + \dfrac{5}{{95.100}}\)

\( = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{15}} + .... + \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{95}} + \dfrac{1}{{95}} - \dfrac{1}{{100}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{100}}\\ = \dfrac{{19}}{{100}}\end{array}\)

Do đó: \(B = \dfrac{{19}}{{100}}:5 = \dfrac{{19}}{{500}}\)

\(\left( {6,27 - 1,38} \right):\left( {x{\rm{ : 2}}} \right) = 3,26\)

\(\begin{array}{l}4,89:\left( {x:2} \right) = 3,26\\x:2 = 4,89:3,26\\x:2 = 1,5\\x = 1,5{\rm{ \times 2}}\\{\rm{x  =  3}}\end{array}\)

Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là: \(152:2 = 76{\rm{ }}m\)

Chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là: \(170:5 = 34{\rm{ }}m\)

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là: \(76{\rm{ }}-34 = 42{\rm{ }}m\)

Diện tích miếng đất hình chữ nhật lúc đầu là: \(34 \times 42 = 1428\,{m^2}\)

Gọi số A là \(\overline {ab} \).

Vì nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số A ta được số B lớn gấp 10 lần số A nên \(\overline {a0b}  = 10{\rm{ }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{ab}}} \)

Do đó b = 0. Ta được \(B = \overline {a00} \)

Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số B thì ta được số C lớn gấp 3 lần số B.

Nên \(\overline {{\rm{1a00}}}  = 3{\rm{ }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{a00}}} \)

\(\begin{array}{l}{\rm{1000  +  }}\overline {{\rm{a00}}} {\rm{  =  3 }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{a00}}} {\rm{ }}\\{\rm{2 }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{a00}}} {\rm{  =  1000 }}\\\overline {{\rm{a00}}} {\rm{  =  500}}\\a \times 100 = 500\\{\rm{a  =  5}}\end{array}\)

Vậy \(A = 50\)

Phân số chỉ số cam còn lại là: \(1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\) (số cam)

Phân số chỉ số bưởi còn lại là: \(1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\) (số bưởi).

Tổng số cam và số bưởi còn lại là: \(165\) quả và số bưởi bằng \(\dfrac{2}{9}\) số cam.

Coi số cam \(9\) phần thì số bưởi chiếm \(2\) phần. Tổng số phần bằng nhau là: \(9 + 2 = 11\) phần.

Số cam còn lại là: \(165:\left( {2 + 9} \right) \times 9 = 135\) (quả)

Số bưởi còn lại là: \(165-135 = 30\) (quả)

Số cam lúc đầu là: \(135:\dfrac{3}{5} = 225\) (quả)

Số bưởi lúc đầu là: \(30:\dfrac{5}{9} = 54\) (quả)