Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 5

Lượng muối có trong $400g$ nước biển là: $4\% .400 = 16$ gam

Vì lượng muối không đổi nên lượng nước trong dung dịch $2\%$ là: $16:0,2 \times 100 = 800$ gam

Lượng nước cần thêm vào là: $800 - 400 = 400$ gam

Từ có nghĩa trái ngược với nóng là: lạnh

Vì $AE = 2cm;AC = 6cm \Rightarrow EC = 4cm$

Lại có $K$ là trung điểm $EC$ nên $EK = KC = \dfrac{{EC}}{2} = 2cm$

Ta có: $AE = EK = KC = {\rm{ }}2cm$

Xét tam giác $ABE$ vuông tại $A.$ Theo định lý Pytago ta có $B{E^2} = A{B^2} + A{E^2}$$= {2^2} + {2^2} = 8$.

Suy ra: $BE = 2\sqrt 2 \,cm$.

Từ đó suy ra: $\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2$ và $\dfrac{{CE}}{{EB}} = \dfrac{4}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2$.

Từ câu trước ta có: $\dfrac{{BE}}{{EK}} = \sqrt 2 ;\dfrac{{CE}}{{EB}} = \sqrt 2$ suy ra: $\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{CE}}{{EB}}$

Xét tam giác $\Delta BEK$và $\Delta CEB$ có:

+) $\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{CE}}{{EB}}$

+) $\widehat {CEB}$ chung

Suy ra: $\Delta BEK \backsim \Delta CEB$ (c – g - c)

Tam giác $EBA$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat {BEA} = {45^0}.$

Từ câu trước ta có: $\Delta BEK \backsim \Delta CEB$

Suy ra: $\widehat {BKE} = \widehat {CBE}$

Do đó: $\widehat {BKE} + \widehat {BCE} = \widehat {CBE} + \widehat {BCE}$

Ta lại có: $\widehat {BEA}$là góc ngoài của tam giác $EBC$ nên  $\widehat {CBE} + \widehat {BCE} = \widehat {BEA} = {45^0}$

 Nên $\widehat {BKE} + \widehat {BCE} = {45^0}.$

+ Từ viết sai : xẵn xàng

+ Viết đúng : sẵn sàng

Bổ đề: Với x,y dương là hai số bất kỳ thì: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}$.

Chứng minh: Vì x, y dương nên $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy$

$\Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$ với mọi x, y thỏa mãn yêu cầu.

Áp dụng bổ đề trên ta có: $\dfrac{4}{{2x + y + z}} = \dfrac{4}{{\left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right)}} \le \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}$.

Cũng có: $\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$.

Do đó: $\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$.

Tương tự ta có:

$\dfrac{1}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$

$\dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)$.

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên kết hợp với điều kiện $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4$ ta có:

$P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}$$\le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)$

$P \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{4}{z}} \right) = \dfrac{1}{{16}}.4\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$$= \dfrac{1}{4}.4 = 1$.

Hay $\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}} \le 1$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x + y = x + z\\x + y = y + z\\x + z = y + z\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{3}{4}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}$ là $1.$

Xét: $B = \dfrac{1}{{5.10}} + \dfrac{1}{{10.15}} + \dfrac{1}{{15.20}} + ... + \dfrac{1}{{90.95}} + \dfrac{1}{{95.100}}$

Thì $5B = \dfrac{5}{{5.10}} + \dfrac{5}{{10.15}} + \dfrac{5}{{15.20}} + ... + \dfrac{5}{{90.95}} + \dfrac{5}{{95.100}}$

Ta có: $\dfrac{5}{{5.10}} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{10}}$

$\dfrac{5}{{10.15}} = \dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{15}}$

$\dfrac{5}{{15.20}} = \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{20}}$

…

$\dfrac{5}{{90.95}} = \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{95}}$

$\dfrac{5}{{95.100}} = \dfrac{1}{{95}} - \dfrac{1}{{100}}$

Suy ra:  $5B = \dfrac{5}{{5.10}} + \dfrac{5}{{10.15}} + \dfrac{5}{{15.20}} + ... + \dfrac{5}{{90.95}} + \dfrac{5}{{95.100}}$

$= \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{15}} + .... + \dfrac{1}{{90}} - \dfrac{1}{{95}} + \dfrac{1}{{95}} - \dfrac{1}{{100}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{100}}\\ = \dfrac{{19}}{{100}}\end{array}$

Do đó: $B = \dfrac{{19}}{{100}}:5 = \dfrac{{19}}{{500}}$

$\left( {6,27 - 1,38} \right):\left( {x{\rm{ : 2}}} \right) = 3,26$

$\begin{array}{l}4,89:\left( {x:2} \right) = 3,26\\x:2 = 4,89:3,26\\x:2 = 1,5\\x = 1,5{\rm{ \times 2}}\\{\rm{x  =  3}}\end{array}$

Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là: $152:2 = 76{\rm{ }}m$

Chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là: $170:5 = 34{\rm{ }}m$

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là: $76{\rm{ }}-34 = 42{\rm{ }}m$

Diện tích miếng đất hình chữ nhật lúc đầu là: $34 \times 42 = 1428\,{m^2}$

Gọi số A là $\overline {ab}$.

Vì nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số A ta được số B lớn gấp 10 lần số A nên $\overline {a0b}  = 10{\rm{ }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{ab}}}$

Do đó b = 0. Ta được $B = \overline {a00}$

Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số B thì ta được số C lớn gấp 3 lần số B.

Nên $\overline {{\rm{1a00}}}  = 3{\rm{ }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{a00}}}$

$\begin{array}{l}{\rm{1000  +  }}\overline {{\rm{a00}}} {\rm{  =  3 }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{a00}}} {\rm{ }}\\{\rm{2 }} \times {\rm{ }}\overline {{\rm{a00}}} {\rm{  =  1000 }}\\\overline {{\rm{a00}}} {\rm{  =  500}}\\a \times 100 = 500\\{\rm{a  =  5}}\end{array}$

Vậy $A = 50$

Phân số chỉ số cam còn lại là: $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$ (số cam)

Phân số chỉ số bưởi còn lại là: $1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$ (số bưởi).

Tổng số cam và số bưởi còn lại là: $165$ quả và số bưởi bằng $\dfrac{2}{9}$ số cam.

Coi số cam $9$ phần thì số bưởi chiếm $2$ phần. Tổng số phần bằng nhau là: $9 + 2 = 11$ phần.

Số cam còn lại là: $165:\left( {2 + 9} \right) \times 9 = 135$ (quả)

Số bưởi còn lại là: $165-135 = 30$ (quả)

Số cam lúc đầu là: $135:\dfrac{3}{5} = 225$ (quả)

Số bưởi lúc đầu là: $30:\dfrac{5}{9} = 54$ (quả)