Cho các số thực dương \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\).

Bổ đề: Với x,y dương là hai số bất kỳ thì: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\).

Chứng minh: Vì x, y dương nên \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y thỏa mãn yêu cầu.

Áp dụng bổ đề trên ta có: \(\dfrac{4}{{2x + y + z}} = \dfrac{4}{{\left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right)}} \le \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}\).

Cũng có: \(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\).

Do đó: \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\).

Tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)

                                                                                        \(\)

\(\dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\).

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên kết hợp với điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\) ta có:

\(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\)\( \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\)

\(P \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{4}{z}} \right) = \dfrac{1}{{16}}.4\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)\( = \dfrac{1}{4}.4 = 1\).

Hay \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}} \le 1\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = x + z\\x + y = y + z\\x + z = y + z\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{3}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\) là \(1.\)