Phép tịnh tiến

Vectơ tịnh tiến là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AA'}  = \left( {1;1} \right)\), đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi nó có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (1;1)\)

Đáp án A: VTPT là $(1;1)$ nên VTCP là $(1;-1)$. Loại A.

Đáp án B: VTPT là $(1;-1)$ nên VTCP là $(1;1)$. Chọn B.

Đáp án C và D đều loại vì không có VTCP là $(1;1)$.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {x' - a} \right) - 3\left( {y' - b} \right) - 1 = 0\) hay $2x' - 3y' - 2a + 3b - 1 = 0$.

Muốn đường thẳng này trùng với đường thẳng $a':2x - 3y + 5 = 0$ ta phải có $ - 2a + 3b - 1 = 5$ hay $ - 2a + 3b = 6$. Vectơ $\overrightarrow u $ ở phương án D không thỏa mãn điều kiện đó.

Lấy điểm $M\left( {0;0} \right)$ thuộc $a'$. Ta có: $d\left( {a;a'} \right) = d\left( {M;a} \right)$

\(d(M;a) = \dfrac{{\left| {3.0 - 4.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 1\)

Phép tịnh tiến biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ mà $x = x' - 2;\,\,y = y' + 3$

Nếu $M$ thuộc parabol đã cho thì $y' + 3 = {\left( {x' - 2} \right)^2}$ hay $y' = x{'^2} - 4x' + 1$.

Lấy điểm \(A,B\) bất kì thuộc hai đường thẳng \(a,b\) thì phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(b\).

Vì các điểm \(A,B\) là lấy bất kì nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn bài toán.

Giả sử ta có phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M$ thành điểm ${M_1}$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v $ biến điểm ${M_1}$ thành điểm ${M_2}$. Ta có: $\overrightarrow {M{M_1}}  = \overrightarrow u $ và $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \overrightarrow v $.

Do đó $\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_2}}  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v $

Như thế phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u  + \overrightarrow v $ biến $M$ thành ${M_2}$.

Vậy: Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u  + \overrightarrow v $

+ Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và phép tịnh tiến theo vectơ $ - \overrightarrow u $ theo kết quả trên là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u  + \left( { - \overrightarrow u } \right) = \overrightarrow 0 $, đó là một phép đồng nhất.

+ Câu D sai vì: Nếu $\Delta $ là đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow u $ thì ảnh của $\Delta $ là chính nó.

Trọng tâm của $\Delta ABC$ là $G\left( {1;2} \right)$. Gọi $G'$ là ảnh của $G$ ta có: $G'\left( {1 + 2.2; - 2.1 + 2 + 1} \right) = \left( {5;1} \right)$.

Gọi $I$ và $J$ là tâm của ${H_1}$ và ${H_2}$.

+ Nếu ${H_1}$ và ${H_2}$ có các cạnh không song song thì không tồn tại phép tịnh tiến nào biến hình vuông này thành hình vuông kia.

+ Nếu ${H_1}$ và ${H_2}$ có các cạnh tương ứng song song thì các phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow {IJ} $ và $\overrightarrow {JI} $ sẽ biến hình vuông này thành hình vuông kia.

+ Không thể có nhiều hơn hai phép tịnh tiến biến hình vuông này thành hình vuông kia.

Lập luận trên hoàn toàn đúng.

Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên trái $2$ đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u  = \left( { - 2;0} \right)$.

Do đó đường thẳng $\Delta $ biến thành đường thẳng $\Delta '$ có phương trình: $2\left( {x + 2} \right) - y + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 7 = 0$.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;3} \right),\) bán kính \(R = 2.\)

Gọi \(I'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của \(I\left( { - 1;3} \right)\) qua phép tịnh tiến vectơ \(\vec v = \left( {3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {II'}  = \vec v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \left( { - 1} \right) = 3\\y - 3 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {2;5} \right)\)

Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách nên \( R' = R = 2.\)

Vậy ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) là đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {2;5} \right),\) bán kính \(R' = 2\) nên có phương  trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 4.\)

Từ giả thiết suy ra $\Delta '$ là ảnh của $\Delta $ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u  = \left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 2\\y' = y + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 3\end{array} \right.$.

Do đó đường thẳng $\Delta '$ có phương trình là: $5\left( {x' + 2} \right) - \left( {y' - 3} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 5x' - y' + 14 = 0 \Rightarrow 5x - y + 14 = 0$

Từ giả thiết ta suy ra, $\left( Q \right)$ là ảnh của $\left( P \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v $.

Ta có: $\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {3;1} \right)$.

Do đó phương trình của $\left( Q \right)$ là: $y - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) + 1 \Leftrightarrow y = {x^2} - 7x + 14$.

Từ giả thiết ta có:

$\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} $

Như thế phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB} $ biến điểm $M$ thành điểm $N$.

Vậy khi $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ thì quỹ tích của $N$ là đường tròn $\left( {I;R} \right)$ với $\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {AB} $.

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 6; - 2} \right)\).

\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {BC} }}\left( A \right) = A'\left( { - 5;2} \right)\\{T_{\overrightarrow {BC} }}\left( B \right) = B' \equiv C \Rightarrow B'\left( { - 2; - 2} \right)\\{T_{\overrightarrow {BC} }}\left( C \right) = C'\left( { - 8; - 4} \right)\end{array}\)

Gọi H(a;b;c) là trực tâm của tam giác A’B’C’, khi đó ta có \(HA' \bot B'C',\,\,HB' \bot A'C'\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HA'} .\overrightarrow {B'C'}  = 0\\\overrightarrow {HB'} .\overrightarrow {A'C'}  = 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {HA'}  = \left( { - 5 - a;2 - b} \right),\,\,\overrightarrow {B'C'}  = \left( { - 6; - 2} \right)\\\overrightarrow {HB'}  = \left( { - 2 - a; - 2 - b} \right),\,\,\overrightarrow {A'C'}  = \left( { - 3; - 6} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( { - 5 - a} \right).\left( { - 6} \right) + \left( {2 - b} \right).\left( { - 2} \right) = 0\\\left( { - 2 - a} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 2 - b} \right).\left( { - 6} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}30 + 6a - 4 + 2b = 0\\6 + 3a + 12 + 6b = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a + 2b =  - 26\\3a + 6b =  - 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(H\left( { - 4; - 1} \right)\).

Nhận thấy đây là phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \left( {1;5} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 10} \right) =  - 2\left( {1;5} \right) =  - 2\overrightarrow v \,\,\,\left( 1 \right)\).

Vì C, D lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \left( {1;5} \right)\) nên \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow v \,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng phương hay AB // AC // BD.

Vậy A, B, C, D thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \).

Mà ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA} \).

Do đó

\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}\)

Vậy \({T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB\)

Vì \(\overrightarrow w \) có giá vuông góc với \(d\) nên ta đặt \(\overrightarrow w \left( {2k; - 3k} \right)\). Gọi \(M\left( {x,y} \right)\) là một điểm bất kì thuộc \(d\) và \(M'\left( {x',y'} \right)\) là ảnh của \(M\) qua \({T_{\overrightarrow w }}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x' = x + 2k\\y' = y - 3k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - 2k\\y = y' + 3k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 2\left( {x' - 2k} \right) - 3\left( {y + 3k} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2x' - 4k - 3y' - 9k + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2x' - 3y' - 13k + 3 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Để (1) là đường thẳng \({d_1}\) thì \( - 13k + 3 =  - 5 \Leftrightarrow k = \dfrac{8}{{13}}\)

Vậy \(\overrightarrow w \left( {\dfrac{{16}}{{13}};\dfrac{{ - 24}}{{13}}} \right).\)

\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {BC} }}\left( A \right) = O\,\,do\,\,\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {BC} \\{T_{\overrightarrow {BC} }}\left( B \right) = C\\{T_{\overrightarrow {BC} }}\left( O \right) = D\,\,do\,\,\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {BC} \\{T_{\overrightarrow {BC} }}\left( F \right) = E\,\,do\,\,\overrightarrow {FE}  = \overrightarrow {BC} \end{array}\)

Vậy \({T_{\overrightarrow {BC} }}\left( {ABOF} \right) = OCDE\).

Chọn \(A\left( { - 1;0} \right) \in d:3x - 5y + 3 = 0\)

Tọa độ điểm \(A'\)  là ảnh của \(A\) qua \({T_{\overrightarrow v }}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - 1 - 2 =  - 3\\y' = 0 + 3 = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A'\left( { - 3;3} \right).\)

Phương trình đường thẳng có dạng: \(3x - 5y + c = 0\)

Thay \(3x - 5y + c = 0\) vào \(d'\) ta có: \( - 9 - 15 + c = 0\)\( \Leftrightarrow c = 24\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) là:  \(3x - 5y + 24 = 0.\)