Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình đưa về bậc nhất hai ẩn

- Từ phương trình đầu suy ra \(y = x - 9\)

- Thay vào phương trình dưới ta được:

\(x\left( {x - 9} \right) = 90 \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 90 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15 \Rightarrow y = 6\\x =  - 6 \Rightarrow y =  - 15\end{array} \right.\) 

- Ta có : \(x,y\) là nghiệm phương trình \({X^2} - SX + P = 0\)

- Hệ phương trình có nghiệm khi \(\Delta  = {S^2} - 4P \ge {\rm{0}}\).

Đặt \(S = x + y,P = xy\) \(\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\)

Hệ phương trình tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\SP = 30\end{array} \right.\)\( \Rightarrow S\left( {11 - S} \right) = 30\)\( \Rightarrow  - {S^2} + 11S - 30 = 0\) \( \Rightarrow S = 5;S = 6\)

Khi \(S = 5\) thì \(P = 6\) nên \(x,y\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2;y = 3\\x = 3;y = 2\end{array} \right.\)  suy ra hệ có nghiệm $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)$

Khi \(S = 6\) thì \(P = 5\) nên \(x,y\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1;y = 5\\x = 5;y = 1\end{array} \right.\)  suy ra hệ có nghiệm $\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).$

Ta có : \(y = x + m \Rightarrow {x^2} + {\left( {x + m} \right)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0\;\;\left( * \right)\)

Hệ phương trình có đúng \(1\) nghiệm khi phương trình \(\left( * \right)\) có đúng \(1\) nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 .\)

Lời giải

- Ta có : \(2x - y = 5 \Leftrightarrow y = 2x - 5\)

- Thay \(y = 2x - 5\) vào phương trình dưới ta được :

\(\left| {x - 1} \right| + 2x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - 2x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 5 - 2x\\x - 1 =  - 5 + 2x\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}3x = 6\\ - x =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\) \( \Rightarrow y =  - 1\).

- Đặt \(S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\)\( \Rightarrow {S^2} + 2S - 15 = 0\)\( \Rightarrow S =  - 5;S = 3\)

+) \(S =  - 5 \Rightarrow P = 10\) (loại)

+) \(S = 3 \Rightarrow P = 2\) (nhận)

Khi đó : \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow X = 1;X = 2\)

Vậy hệ có nghiệm  \(\left( {2;1} \right),\left( {1;2} \right).\)

Đặt \(S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\{S^2} - 2P + 3S = 28\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {S^2} - 2\left( {11 - S} \right) + 3S = 28\)\( \Rightarrow {S^2} + 5S - 50 = 0\) \( \Rightarrow S = 5;S =  - 10\)

Khi \(S = 5 \Rightarrow P = 6\) thì \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow X = 2;X = 3\)

Khi \(S =  - 10 \Rightarrow P = 21\) thì \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} + 10X + 21 = 0 \Leftrightarrow X =  - 3;X =  - 7\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( { - 3; - 7} \right),\left( { - 7; - 3} \right).\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y{\rm{ }}\,\left( 1 \right)\\{y^2} = 3y - x\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ theo vế ta được: \({x^2} - {y^2} = 4x - 4y\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x\\y = 4 - x\end{array} \right.\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\,\\y = x\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\,\\y = x\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 2\end{array} \right.$.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\,\\y = 4 - x\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 = 0\,\\y = 4 - x\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow x = y = 2$.

Vậy hệ có hai nghiệm.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 3x + 8y\\{y^3} = 3y + 8x\end{array} \right.$\( \Rightarrow \) \({x^3} - {y^3} =  - 5x + 5y\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) =  - 5\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 5} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0\end{array} \right.\) 

Khi \(x = y\) thì \({x^3} - 11x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x =  \pm \sqrt {11} \)

Khi \({x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}y} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} + 5 = 0\) (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( { - \sqrt {11} ; - \sqrt {11} } \right);\left( {\sqrt {11} ;\sqrt {11} } \right).\)

Kí hiệu $\left\{ \begin{array}{l}x + 2my - z = 1 \;\; \left( 1 \right)\\2x - my - 2z = 2 \;\; \left( 2 \right)\\x - \left( {m + 4} \right)y - z = 1 \;\; \left( 3 \right)\end{array} \right.$.

Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 3 \right)\) vế với vế ta được \(\left( {3m + 4} \right)y = 0 \Leftrightarrow y = 0\) (do \(m \ne 0; - \dfrac{4}{3}\))

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - z = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Ta có $T = 2017x - 2018y - 2017z$$ = 2017\left( {x - z} \right)$$ = 2017$.

- Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$\( \Rightarrow {x^2} - {y^2} + y - x = 0\)\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)

- Khi \(x = y\) thì \({x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3;x = 2\)

- Khi \(y = 1 - x\) thì \({x^2} + 1 - x - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có \(4\) nghiệm \(\left( { - 3; - 3} \right),\) \(\left( {2;2} \right),\)\(\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 7\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7}  - 2x\sqrt {3y + 1}  = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {y + 4} \right)x - 3{y^2} - 12y - 9 = 0\), ta coi \(\left( 1 \right)\) là phương trình bậc hai ẩn \(x\) và \(y\) là tham số, giải \(x\) theo \(y\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 3y - 9\\x = y + 1\end{array} \right.\)

Với \(x =  - 3y - 9\) thì \(\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3y - 9 \ge  - 7\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le  - \dfrac{2}{3}\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) (Vô lý)

Với \(x = y + 1\) $ \Leftrightarrow y = x - 1$ thì

\(\left( 2 \right) \Rightarrow {x^2} + 4x - 6\sqrt {x + 7}  - 2x\sqrt {3x - 2}  + 14 = 0\) $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x\sqrt {3x - 2} + 3x - 2} \right) + \left( {x + 7 - 6\sqrt {x + 7} + 9} \right) = 0$ \( \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {3x - 2} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 7}  - 3} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {3x - 2} \\\sqrt {x + 7}  = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow y = 1\) (thỏa mãn)

Hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {2;\,1} \right)\)\( \Rightarrow a = 2\), \(b = 1\) \( \Rightarrow \) \(T = 24\).

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow {4^2} - 2P = {m^2}$$ \Leftrightarrow P = \dfrac{{16 - {m^2}}}{2}$

\( \Rightarrow {S^2} - 4P = 16 - 2\left( {16 - {m^2}} \right) = 2{m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 \).

Ta có: \(|a - b| = 3\) \(\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\).

Khi viết ngược lại ta có:$10b + a = \dfrac{4}{5}\left( {10a + b} \right) - 10$$ \Leftrightarrow 35a - 46b = 50$.

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\35a - 46b = 50\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 5\end{array} \right.\).

Hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\35a - 46b = 50\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{{188}}{{11}}\\b =  - \dfrac{{155}}{{11}}\end{array} \right.\) (loại).

Với \(a = 8\), \(b = 5\), \({a^2} + {b^2} = 89\).

Khi \(x,y \ge 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{11}}{9};y = \dfrac{{19}}{9}$ (loại)

Khi \(x,y < 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{19}}{9},y = \dfrac{{ - 23}}{9}$ (loại)

Khi \(x \ge 0,y < 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow x = 1;y =  - 1\) (nhận)

Khi \(x < 0,y \ge 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{11}}{{19}};y = \dfrac{{23}}{{19}}\) (nhận)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x - 2y = 16\\{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 33\end{array} \right.  \left( 1 \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {xy - 2x - y + 2} \right) - x + 1 - y + 2 = 21\\\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) = 38\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right) - \left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 21\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 38\end{array} \right.  \left( 2 \right)$

Đặt $u = x - 1\,$; $v = y - 2$ ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}uv - \left( {u + v} \right) = 21\\{u^2} + {v^2} = 38\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}uv - \left( {u + v} \right) = 21\\{\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 38\end{array} \right.$

Đặt $S = u + v$; $P = uv$ ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}P - S = 21\\{S^2} - 2P = 38\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = S + 21\\{S^2} - 2S - 80 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S =  - 8\\P = 13\end{array} \right.\,\,$ hoặc $\,\,\left\{ \begin{array}{l}S = 10\\P = 31\end{array} \right.$.

+ Khi $\left\{ \begin{array}{l}S =  - 8\\P = 13\end{array} \right.\,\,$ thì $u$; $v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} + 8X + 13 = 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u =  - 4 + \sqrt 3 \\v =  - 4 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,$ hoặc $\,\,\left\{ \begin{array}{l}u =  - 4 - \sqrt 3 \\v =  - 4 + \sqrt 3 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 4 + \sqrt 3 \\y - 2 =  - 4 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,\,$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 4 - \sqrt 3 \\y - 2 =  - 4 + \sqrt 3 \end{array} \right.\,$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + \sqrt 3 \\y =  - 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 - \sqrt 3 \\y =  - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.$.

+ Khi $\left\{ \begin{array}{l}S = 10\\P = 31\end{array} \right.$ thì $u$; $\,\,v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} - 10X + 31 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 3 - \sqrt 3 ; - 2 + \sqrt 3 } \right);\) \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 3 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\)

Điều kiện: \(x,y \ge 1\)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1}  = 1\\2y + \sqrt {x - 1}  = 1\end{array} \right.$\( \Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1}  - \sqrt {x - 1}  = 0\)\( \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) + \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1}  + \sqrt {x - 1}  = 0}}\)

\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt {y - 1}  + \sqrt {x - 1} }}} \right) = 0\)

Khi \(x = y\) thì \(2x + \sqrt {x - 1}  = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1}  = 1 - 2x\) (vô nghiệm do \(x \ge 1\) thì \(VT \ge 0,VP < 0\) )

Khi \(\sqrt {y - 1}  + \sqrt {x - 1}  = \dfrac{1}{2}\) thì \(2x + 2y + \dfrac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \dfrac{3}{4}\) (vô nghiệm vì \(x,y \ge 1\))

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

- Khi \(m =  - 1\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\{x^2}y + {y^2}x = 0\end{array} \right.$ \( \Rightarrow \) hệ có vô số nghiệm \( \Rightarrow (I)\) đúng.

- Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m + 1\\{x^2}y + {y^2}x = 2{m^2} - m - 3\end{array} \right.$\( \Rightarrow xy\left( {m + 1} \right) = 2{m^2} - m - 3\)\( \Rightarrow xy = 2m - 3\)

\( \Rightarrow {S^2} - 4P = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 6m + 13 > 0,\forall m\) đúng

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x + y} \right)^2} - 5\left( {4{x^2} - {y^2}} \right) + 6\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right) = 0  \left( 1 \right)\\2x + y + \dfrac{1}{{2x - y}} = 3   \left( 2 \right)\end{array} \right.\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{x^2} + 12{y^2} - 20xy = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2x - 3y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\2x = 3y\end{array} \right.\).

Với \(x = y\) ta có \(\left( 2 \right) \Rightarrow 3x + \dfrac{1}{x} = 3\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x + 1 = 0\): phương trình vô nghiệm.

Với \(2x = 3y\) ta có \(\left( 2 \right) \Rightarrow 4y + \dfrac{1}{{2y}} = 3\) \( \Leftrightarrow 8{y^2} - 6y + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\).

Với \(y = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow x = \dfrac{3}{8}\left( {KTM} \right)\).

Với \(y = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}\left( {TM} \right)\)\( \Rightarrow P = 1\).

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}2xy + {y^2} - 4x - 3y + 2 = 0\\xy + 3{y^2} - 2x - 14y + 16 = 0\end{array} \right.$\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2xy + {y^2} - 4x - 3y + 2 = 0\\2xy + 6{y^2} - 4x - 28y + 32 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 5{y^2} - 25y + 30 = 0\)

\( \Rightarrow y = 3;y = 2\)

Khi \(y = 3\) thì phương trình đầu trở thành \(6x + 9 - 4x - 9 + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x =  - 1\).

Khi \(y = 2\) thì phương trình đầu trở thành \(4x + 4 - 4x - 6 + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in R\)