Lũy thừa

Với $a \ne 0, n\in Z, n>0$ thì ${a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$.

Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương nên $a > 0$.

Ta có: $P = {a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[3]{a} = {a^{\frac{3}{2}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{{11}}{6}}}$

Cho $a > 0,m,n \in Z,n \ge 2$, khi đó ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

- Vì $n \in {N^*}$ nên ${a^n},{b^n}$ đều có nghĩa (A, B đúng).

- Vì $\alpha  \notin Z,a > 0$ nên ${a^\alpha }$ có nghĩa (C đúng).

- Vì $\alpha  \notin Z,b < 0$ nên ${b^\alpha }$ không có nghĩa (D sai).

$P = \dfrac{{\sqrt[5]{4}.\sqrt[4]{{64}}.{{(\sqrt[3]{{\sqrt 2 }})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt[3]{{32}}}}}} = \dfrac{{{2^{\frac{2}{5}}}{{.2}^{\frac{6}{4}}}{{.2}^{\frac{4}{6}}}}}{{{2^{\frac{5}{9}}}}} = {2^{\frac{2}{5} + \frac{6}{4} + \frac{4}{6} - \frac{5}{9}}} = {2^{\frac{{181}}{{90}}}}$

Vậy $P = {2^{\frac{{181}}{{90}}}}.$

Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: $a > 0:{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)$ nên ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$.

Ta có: ${\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{xy}}$ nên A sai.

$\dfrac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{x - y}}$ nên B sai.

${2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}$ nên C đúng.

${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{{{2^x}}}{{{3^x}}}$ nên D sai.

Ta có : $P = \dfrac{{{{125}^6}.{{\left( { - 16} \right)}^3}2.\left( { - {2^3}} \right)}}{{{{25}^3}.{{\left( { - {5^2}} \right)}^4}}} = \dfrac{{{5^{18}}{2^{12}}{{.2.2}^3}}}{{{5^6}{{.5}^{2.4}}}} = {5^4}{.2^{16}}$

Vậy $P = {5^4}{.2^{16}}$.

Với $m,n \in Z$ thì ${a^{mn}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}$.

${2^{\sqrt x }} \ne {x^{\sqrt 2 }}$ nên A sai.

${3^{\sqrt {xy} }} = {3^{\sqrt x .\sqrt y }} = {\left( {{3^{\sqrt x }}} \right)^{\sqrt y }}$ nên B đúng.

$\dfrac{{{3^{\sqrt[3]{x}}}}}{{{3^{\sqrt[3]{y}}}}} = {3^{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}} \ne {3^{\sqrt[3]{{x - y}}}}$ nên C sai.

${x^{\sqrt 3 }} \ne {y^{\sqrt 3 }}$ nếu $x \ne y$  nên D sai.

$P = \sqrt[5]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[5]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{3}}}}} = {\left( {{x^{2 + \frac{1}{3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}}$$= {x^{\frac{7}{{15}}}}$

Vậy $P = {x^{\frac{7}{{15}}}}.$

Với $a > 1,m > 0,m \in Z$ thì ${a^m} > {a^0} = 1 \Rightarrow {a^m} > 1$.

$P = \dfrac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}} = \dfrac{{\sqrt[5]{{{b^2}.{b^{\frac{1}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{b.{b^{\frac{1}{2}}}}}}}$= $\dfrac{{\sqrt[5]{{{b^{\frac{5}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^{\frac{3}{2}}}}}}} = \dfrac{{{b^{\frac{5}{{2.5}}}}}}{{{b^{\frac{3}{{2.3}}}}}} =$ $\dfrac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}}} = 1$

Vậy $P = 1.$

Với $0 < a < b,m \in {N^*}$ thì ${a^m} < {b^m}$.

Ta có:

$P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = \left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} - {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = a - b$

Vậy  $P = a - b$.

Vì $1 < \dfrac{6}{5} < \dfrac{5}{4}$ và $m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > 1$.

$\begin{array}{l}P = {\left( {2\sqrt 6  - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6  + 5} \right)^{2021}}\\\,\,\,\,\, = {\left[ {\left( {2\sqrt 6  - 5} \right)\left( {2\sqrt 6  + 5} \right)} \right]^{2020}}.\left( {2\sqrt 6  + 5} \right)\\\,\,\,\, = {\left( {24 - 25} \right)^{2020}}.\left( {2\sqrt 6  + 5} \right) = 2\sqrt 6  + 5\end{array}$

$A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2  - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2  + 1}} = {a^{\sqrt 2  - \sqrt 2  + 1}} = a$

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$.