Ứng dụng tích phân để tính diện tích
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), đường thẳng \(y = 0\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), đường thẳng \(y = 0\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1;x = - 3\) là:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1;x = - 3\) là: \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} - 1} \right|dx} \)
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = - x\) và \(g\left( x \right) = {e^x}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = e\) là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = e\) là:
\(S = \int\limits_0^e {\left| {{e^x} - \left( { - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^e {\left| {{e^x} + x} \right|dx} \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
${x^3}-x = 2x \Leftrightarrow {x^3}-3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (chỉ xét trên $\left( {-1;1} \right)$)
Với $x \in \left( {-1;0} \right)$ thì ${x^3}-3x > 0$ ; với $x \in \left( {0;1} \right)$ thì ${x^3}-3x < 0$
Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 3x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x - 1){e^x}$, trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$
Diện tích cần tính là $S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right){e^x}dx} = 0,718... = e - 2$ (sử dụng máy, tính trực tiếp và so sánh với các đáp án)
Gọi $S$ là diện tích của Ban Công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ ($S$ được giới hạn bởi parabol $\left( P \right)$ và trục $Ox$). Giá trị của S là:
Gọi phương trình parabol: $y=ax^2+bx+c (a\ne 0)$
Parabol có đỉnh $(0;1)$ nên $c=1$ và $-\dfrac{b}{2a}=0$ hay $b=0$.
Do đó $y=ax^2+1$.
Lại có các điểm $(-1;0),(1;0)$ thuộc đồ thị hàm số nên $a.1^2+1=0\Leftrightarrow a=-1$
Ta thấy, phương trình đường cong parabol trong hình là: \(y = - {x^2} + 1\)
$ \Rightarrow S = \int_{ - 1}^1 {\left| {1 - {x^2}} \right|dx} = \left. {\left( {x - \dfrac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{4}{3}$
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2\) (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
Diện tích hình phẳng là S =\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f(x)} \right|} dx\)
Dựa vào hình vẽ ta có được: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {(0 - f(x))dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} = - \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^2 {f(x)dx} = b - a$
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 4\) và \(y = x - 4\).
Xét phương trình : \({x^2} - 4 = x - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).
Trong khoảng $\left( {0;1} \right)$ thì ${x^2}-x < 0$.
Diện tích cần tìm là : \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 4 - x + 4} \right|dx = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx = } } - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} = \dfrac{1}{6}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn ${x^2} + {y^2} = 2,y > 0$ và parabol $y = {x^2}$ bằng:
${x^2} + {y^2} = 2(y > 0) \Leftrightarrow y = \sqrt {2 - {x^2}} $
+ Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình:
$\sqrt {2 - {x^2}} = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = - 2(L)\end{array} \right. \\\Leftrightarrow x = \pm 1$
+ Với \( - 1 \le x \le 1\) thì
\(\begin{array}{l} {x^2} \le 1 \Rightarrow {x^4} \le 1\\ \Rightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = \left( {{x^4} - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) \le 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \le {x^4} \le 2 - {x^2}\\ \Rightarrow {x^2} \le \sqrt {2 - {x^2}} \end{array}\)
\( \Rightarrow {x^2} - \sqrt {2-{x^2}} \le 0 \Rightarrow \left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right| = \sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}\)
+ Diện tích hình phẳng là:
$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {2 - {x^2}} dx} - \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} $
+ Với ${I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {2 - {x^2}} dx} $
Đặt $x = \sqrt 2 \sin u \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos udu$
Khi $ x = -1 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi }{4}$
$ x = 1 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}$
Do đó ${I_1} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {2 - 2{{\sin }^2}u} .\sqrt 2 \cos udu} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {2{{\cos }^2}udu} $$ = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2u)du} $
$ = \left. u \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} + \left. {\dfrac{1}{2}\sin 2u} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{1}{2}\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2} + 1$
+ Với ${I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} = \dfrac{1}{3}\left. {{x^3}} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$
$ \Rightarrow S = {I_1} - {I_2} = \dfrac{\pi }{2} + 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{3}$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^3},y = 2 - x$ và $y = 0$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị là: $\left\{ \begin{array}{l}2 - x = 0\\{x^3} = 0\\{x^3} = 2 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.$
Nên diện tích hình phẳng cần tính là $S = \int\limits_0^1 {{x^3}dx + } \int\limits_1^2 {(2 - x)dx = } \dfrac{1}{2} + \int\limits_0^1 {{x^3}dx} $
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn \(f( - 1) > 0 > f(0)\) . Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),y = 0,x = 1\) và \(x = - 1\) . Mệnh đề nào sau đây là đúng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),y = 0,x = 1\) và \(x = - 1\) là $\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $
Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ $Oxy$ là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích $S$ của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài $1$ mét
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là $x = 0;x = 5;x = - 5$
Ta thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích $4$ mảnh đất nhỏ bằng nhau.
Xét diện tích $S$ mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có
$\begin{array}{l}4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right] \\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^5 {x\sqrt {25 - {x^2}} } d{\rm{x}} = \dfrac{{125}}{{12}}\\ \Rightarrow S = 4.\dfrac{{125}}{{12}} = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\end{array}$
Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y = {x^2}$và đường thẳng là $y = 25$. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua $O$ và điểm $M$ trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm $M$ bằng cách tính độ dài $OM$ để diện tích mảnh vường nhỏ bằng $\dfrac{9}{2}$.
Giả sử $M\left( {a;{a^2}} \right) \in (P)$ thì ta có phương trình đường thẳng $OM$ là: $y = ax$
Khi đó diện tích mảnh vườn nhỏ là: $S = \int\limits_0^a {(ax - {x^2})dx = \left. {\left( {a\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|} _0^a = \dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3$
Khi đó ta có: $OM = 3\sqrt {10} $
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\)
Ta có $\left| {{x^2} - 4{\rm{x}} + 3} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$
Ta có: $\left| {{x^2} - 4{\rm{x}} + 3} \right| = x + 3 \Leftrightarrow {{\rm{x}}^4} - 8{{\rm{x}}^3} + 22{{\rm{x}}^2} - 24{\rm{x}} + 9 = {x^2} + 6{\rm{x}} + 9$
$ \Leftrightarrow {{\rm{x}}^4} - 8{{\rm{x}}^{^3}} + 21{{\rm{x}}^2} - 30{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.$
Với \(0 \le x \le 5\) thì $\left| {{x^2} - 4{\rm{x}} + 3} \right| \le x + 3$
Có
$\begin{array}{l}S=\int_0^5 {\left| {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| - x - 3} \right|dx} = \int_0^1 {\left[ {x + 3 - \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} + 3} \right)} \right]dx} \\ + \int_1^3 {\left[ {x + 3 - \left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)} \right]dx} + \int_3^5 {\left[ {x + 3 - \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} + 3} \right)} \right]dx} \\ = \int_0^1 {\left[ { - {x^2} + 5x} \right]dx} + \int_1^3 {\left[ {{x^2} - 3x + 6} \right]dx} + \int_3^5 {\left[ { - {x^2} + 5x} \right]dx} \\ = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 5.\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{2} - 3.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 5.\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^5\\ = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{{27}}{2} - 3.\dfrac{9}{2} + 18 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} - 6 - \dfrac{{125}}{3} + \dfrac{{125}}{2} + \dfrac{{27}}{3} - \dfrac{{5.9}}{2} = \dfrac{{109}}{6}\end{array}$
Diện tích hình phẳng giới hạn với đường cong \(y = 4 - \left| x \right|\) và trục hoành $Ox$ là
Có $4 - \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.$
Với \( - 4 \le x \le 4\) thì \(4 - \left| x \right| \ge 0\)
Diện tích hình cần tìm là:
$\begin{array}{l}S = \int_{ - 4}^4 {\left| {4 - \left| x \right|} \right|dx} = \int_{ - 4}^4 {\left( {4 - \left| x \right|} \right)dx} = \int_{ - 4}^0 {(4 + x)dx} + \int_0^4 {(4 - x)dx} \\ = \left. {4x + \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 4}^0 + \left. {4x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 0 + 16 - 8 + 16 - 8 = 16\end{array}$
Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi
Nhận thấy phần đồ thị chia làm 2 phần, chú ý đến cận của từng phần.
Phần 1 có cận từ $ - 2$ đến $1$ nhưng trong \(\left( { - 1;2} \right)\), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.
Phần 2 có cận từ 1 đến 2 và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
Vậy \(S = \int_{-2}^{ 1} ({-f(x))dx} + \int_1^2 {f(x)dx} = \int_1^{ - 2} {f(x)dx} + \int_1^2 {f(x)dx} \)
Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục \(Oxy\) thì nó có đỉnh \(\left( {0;8} \right)\) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là \(\left( { - 4;0} \right)\). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.
+ Gọi phương trình parabol là: $y=a{x^2} + {\rm{ }}bx + c $
Nhận thấy với $x = 0$ thì $y = 8$ suy ra $c = 8$.
Mặt khác \(\left( {0;8} \right)\) là đỉnh nên \( - \dfrac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\)
Điểm $(-4;0)$ thuộc đồ thị hàm số nên phương trình $y=0$ có nghiệm \(x = - 4 \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2}\).
Vậy phương trình parabol: \(y = - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8\)
Bài toán quy về tính diện tích được tạo bởi parabol với trục \(Ox\).
Ta có:
\(S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8} \right|dx} = 2\int\limits_0^4 {\left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8} \right)dx} = 2.\left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{6} + 8x} \right)} \right|_0^4 = \dfrac{{128}}{3}{m^2}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích hai phần \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\dfrac{{16}}{3}\) và \(\dfrac{{63}}{4}.\) Tính \(\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} \).
Xét \(\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} \). Đặt \(2x + 1 = t \Leftrightarrow 2dx = dt \Leftrightarrow dx = \dfrac{{dt}}{2}\).
Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = - 1\\x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\).
Khi đó ta có \(\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right)\)
Từ hình vẽ ta có \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{16}}{3};\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{{63}}{4}\)
Nên \(\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{16}}{3} - \dfrac{{63}}{4}} \right) = - \dfrac{{125}}{{24}}\)
Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh \(40\,\left( {cm} \right)\) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình \(4{x^2} = {y^4}\) và \(4{\left( {\left| x \right| - 1} \right)^3} = {y^2}\) để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Diện tích phần tô đậm là \(S = 4\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {2x} - 0} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {\sqrt {2x} - 2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} } \right)dx} } \right] = \dfrac{{112}}{{15}}\,\,\left( {d{m^2}} \right) \approx 747\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).