Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương có tham số

Đồ thị có dạng như hình bên là của hàm đa thức bậc ba.

Nhận xét:  Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số $a > 0$ nên loại đáp án A, C

Xét 2 đáp án B và D

Thay $x = 0;\,y = 2$ thì cả 2 đáp án B, D đều thỏa mãn

Thay $x = 2;\,y =  - 2$ chỉ có đáp án B thỏa mãn 

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;4} \right)$ nên loại A và D

Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và tiếp xúc $Ox$ tại $\left( {2;0} \right)$ nên phương trình hoành độ giao điểm $y = 0$ có 1 nghiệm đơn $x=-1$ và 1 nghiệm kép ${x_{2,3}} = 2$ 

Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Dạng đồ thị đã cho có thể là của hàm số bậc hai hoặc hàm bậc bốn trùng phương.

Từ dáng đồ thị ta có $a > 0$ nên loại A, C

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left( {0; - 3} \right).$

Do hàm số chỉ có một điểm cực trị nên $y' = 0$ phải có duy nhất một nghiệm ${x_0}$ và $y\left( {{x_0}} \right) =  - 3.$

Kiểm tra ta chỉ thấy đáp án D là phù hợp.

Ngoài ra, đáp án B bị loại vì phương trình $y'=0$ ở đáp án B có $3$ nghiệm phân biệt.

Từ đồ thị ta thấy khi $x \to  \pm \infty $ thì $y \to  - \infty $$ \Rightarrow $ Chỉ có đáp án D thoả mãn

Từ đồ thị của hàm số ta dễ dàng thấy được:

Điểm cực tiểu $\left( { - 1; - 4} \right),\left( {1; - 4} \right)$ và điểm cực đại $\left( {0; - 3} \right)$

Xét Đáp án A: $y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)$ có các nghiệm $x = 0;x =  \pm 1$.

Do đó đồ thị có các điểm cực tiểu là $\left( { - 1; - 4} \right),\left( {1; - 4} \right)$ và điểm cực đại  là $\left( {0; - 3} \right)$.

Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 3 nên loại đáp án B.

Ngoài cùng bên phải của $y< 0 \Rightarrow a < 0$ nên loại đáp án A.

Thay lần lượt hai điểm $\left( {0;\, - 1} \right)$ và $\left( {2;\,3} \right)$ vào 2 hàm số còn lại.

Thay $x = 0$ vào cả hai  hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$ và $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$ ta thu được $y =  - 1$ $ \Rightarrow \left( {0;\, - 1} \right)$ đều thuộc vào 2 đồ thị hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$ và $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$

Thay $x = 2$ vào hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$ ta được $ y = 3 \Rightarrow \left( {2;\,3} \right)$ thuộc vào đồ thị hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$.

Thay $x = 2$ vào hàm số $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$ ta được $y =  - 21$ $ \Rightarrow \left( {2;\,3} \right)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$.

Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 4.

Ngoài cùng bên phải của $y' < 0 \Rightarrow a < 0 \Rightarrow $Loại đáp án A

Thay điểm $\left( {0;0} \right)$ vào các hàm số ở đáp án B, C, D

Điểm $\left( {0;0} \right)$ chỉ thuộc vào đồ thị hàm số $y =  - {x^4} + 2{x^2}$

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Hàm số không có GTLN nên A sai.

- $\left( { - 1;2} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên D sai, $x =  - 1$ là điểm cực đại của hàm số nhưng không phải là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên B sai.

- Giá trị cực tiểu của hàm số là $y =  - 2$ nên C đúng.

Ta có: $y' = 4a{x^3} + 2{b^2}{x}$

Dễ thấy $x = 0$ luôn là nghiệm của $y'$.

Mà hàm bậc 4 luôn có cực trị

$ \Rightarrow $ đáp án D đúng

A sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$

B sai vì hàm số đạt giá trị cực đại là $y = 3$ tại $x = 0$

C đúng vì từ bảng biến thiên ta thấy:

$\mathop {\min }\limits_R f\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)$.

C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $ - 1$ đạt được tại $x = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x =  - \infty $ nên $a > 0$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu

$ \Rightarrow ac < 0$ mà $a > 0$ nên suy ra $c < 0$ suy ra loại B, C.

Mặt khác thấy đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương $ \Rightarrow d > 0$

Nhận xét: Hàm số bậc 3 có $2$ cực trị và hệ số $a > 0$

Khi $x = 0 \Leftrightarrow y = d > 0$

$y' = 3a{x^2} + 2bx + c$ có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow 3ac < 0 \Leftrightarrow c < 0$ (Vì $a > 0$)

$\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{ - 2b}}{{3a}}}}{2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow  - b > 0\,(Do\,a > 0) \Rightarrow b < 0$

Vậy khẳng định đúng là: $a > 0, b < 0, c < 0, d > 0$

Nhận xét: Hàm số bậc 4 trùng phương có $3$ cực trị và hệ số $a > 0$

Từ đồ thị ta có: $x = 0 $ thì $y = c < 0$

Hàm số có $3$ cực trị thì $ab < 0$ suy ra $b < 0$ (vì $a > 0$)

Vậy khẳng định đúng là: $ a > 0, b < 0, c < 0$

${x^4} - 4{x^2} + 1 - m = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 1 = m$

Số nghiệm của phương trình ${x^4} - 4{x^2} + 1 - m = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 1$ và đường thẳng $y = m$.

Þ Để phương trình ${x^4} - 4{x^2} + 1 - m = 0$ có $4$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow  - 3 < m < 1$

Xét : $ - {x^4} + 2{{\text{x}}^2} + 1 = m$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số $y =  - {x^4} + 2{{\text{x}}^2} + 1;y = m$

Nhìn đồ thị chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

- Khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to  + \infty \). Loại C và D.

- Tọa độ các điểm cực trị là \(\left( { - 1;2} \right)\) và \(\left( {1; - 2} \right)\) nên đáp án A là phù hợp.

Hàm số \(y = {x^3} + b{x^2} - x + d\) có hệ số của \({x^3}\) dương nên loại (II).

Xét \(y' = 3{x^2} + 2bx - 1\) có \(\Delta ' = {b^2} + 3 > 0,\forall b \in \mathbb{R}\).

Do đó hàm số có hai cực trị.