Phương trình đường thẳng

Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Câu 2 Trắc nghiệm

Đường thẳng \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có một VTCP là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Đường thẳng \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có một VTCP là \(\left( {a;b;c} \right)\).

Câu 3 Trắc nghiệm

Đường thẳng đi qua điểm \(\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)\) và có VTCP \(\left( { - a; - b; - c} \right)\) có phương trình:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Đường thẳng đi qua điểm \(\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)\) và có VTCP \(\left( { - a; - b; - c} \right)\) có phương trình:

\(\dfrac{{x - \left( { - {x_0}} \right)}}{{ - a}} = \dfrac{{y - \left( { - {y_0}} \right)}}{{ - b}} = \dfrac{{z - \left( { - {z_0}} \right)}}{{ - c}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + {x_0}}}{a} = \dfrac{{y + {y_0}}}{b} = \dfrac{{z + {z_0}}}{c}\)

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng \(d\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Vì \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 - t\\y = 1 - t\\z = 0 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên \(d\) đi qua điểm \(\left( {0;1;0} \right)\).

Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của \(d\) nên chỉ có đáp án D đúng.

Câu 5 Trắc nghiệm

Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:

\(\dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{{1 - 2}}{{ - 2}} \ne \dfrac{2}{1}\) nên A sai.

\(\dfrac{{1 + 1}}{2} = \dfrac{{0 - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{1}{1}\) nên B đúng.

Thay tọa độ các điểm đáp án \(C,D\) vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.

Câu 6 Trắc nghiệm

Cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và các điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1; - 1;1} \right),C\left( {2;\dfrac{1}{2};0} \right)\). Chọn mệnh đề đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{1 - 1}}{2} = \dfrac{{1 - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0 \Rightarrow A \in d\\\dfrac{{ - 1 - 1}}{2} \ne \dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow B \notin d\\\dfrac{{2 - 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C \in d\end{array}\)

Do đó cả hai điểm \(A\) và \(C\) đều thuộc \(d\).

Câu 7 Trắc nghiệm

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\)   và nhận \(\vec u = (a,b,c)\),  \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\)  làm một vecto chỉ phương. Hãy chọn khẳng định sai trong bốn khẳng định sau?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Phương trình chính tắc của (d) đi qua \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\)   và nhận \(\vec u = (a,b,c)\) làm vecto chỉ phương là \((d):\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\). Do đó D là đáp án sai. 

Câu 8 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của \(d\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 0t\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {0;3; - 1} \right)\)

Câu 9 Trắc nghiệm

Trong không gian $Oxyz$, tìm phương trình tham số trục $Oz$?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Phương trình trục \(Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Câu 10 Trắc nghiệm

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Phương trình trục \(Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Do đó chỉ có điểm $N\left( {0,1,0} \right)$ thuộc trục \(Oy\)

Câu 11 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;0; - 2} \right)\\\overrightarrow u  = \left( {2;3;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)

Câu 12 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$,  phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}.\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

\(\Delta :\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) đi qua \(M\left( {4; - 3;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)\)  làm VTCP nên \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Câu 13 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm $M\left( {2,0, - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương \(\vec a = (4, - 6,2)\). Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(\vec a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)\)  nên chọn \(\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\) là vecto chỉ phương của \(d\).

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2,0, - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương \(\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\)

Câu 14 Trắc nghiệm

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {1,2, - 3} \right)$ và $B\left( {3, - 1,1} \right)$?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)\) là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên có dạng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}\).

Câu 15 Trắc nghiệm

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $OAB$ với \(A\left( {1;1;2} \right),\;B\left( {3; - 3;0} \right)\). Phương trình đường trung tuyến $OI$ của tam giác $OAB$ là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(I\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Ta có \(OI\)  nhận \(\overrightarrow {OI}  = \left( {2; - 1;1} \right)\) là vectơ chỉ phương và đi qua điểm $O\left( {0,0,0} \right)$ nên \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\).

Câu 16 Trắc nghiệm

Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ với  $A\left( {0,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 2,3,1} \right)$ và $C\left( {4, - 3,1} \right)$. Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo $BD$.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi \(I\)  là tâm của hình bình hành $ABCD$. Suy ra \(I\) là trung điểm của $AC$. Ta có $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Phương trình $BI$ cũng chính là phương trình đường chéo $BD$.

+ Phương trình $BI$ nhận \(\overrightarrow {BI}  = (4, - 4,0)\) là vectơ chỉ phương

+ qua điểm $B\left( { - 2,3,1} \right)$ và cũng qua điểm $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là \((1,1,0)\), đây không là vecto chỉ phương của $BI$.

Câu 17 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2,1,3} \right)$ và đường thẳng \(d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{1}\) . Gọi \(d\)  là đường thẳng đi qua \(A\)  và song song \(d'\). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng \(d\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Phương trình đường thẳng \(d\) có vecto chỉ phương là \(\vec u = (3,1,1)\) và đi qua điểm $A\left( {2,1,3} \right)$ nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)

+ Phương án A đúng.

+ Với $t =  - 1$ ta có $B\left( { - 1,0,2} \right)$ thuộc \(d\) . Do đó B đúng.

+ Với $t = 1$, ta có $C\left( {5,2,4} \right)$ thuộc \(d\) . Do đó C đúng.

Câu 18 Trắc nghiệm

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A(1;2; - 3)$ và song song với trục $Oz$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Vì $d//Oz$ nên ta có \(\overrightarrow {{u_d}}  = \vec k = (0,0,1)\). Vì \(d\) qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\)(*)

Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:

+ A,B, D sai vecto chỉ phương.

+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \). Kiểm tra điểm $B\left( {1,2,3} \right)$ thuộc (*) nên C đúng.

Câu 19 Trắc nghiệm

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1,2,3} \right)$ và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) là: 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = (2,1, - 1)\)  và  \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = (3,2,2)\)

Vì $d$ vuông góc với \({d_1}\)  và \({d_2}\)  nên có \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {4; - 7;1} \right)\)

Vì $d$ qua $A\left( {1,2,3} \right)$ nên có phương trình \(d:\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 7}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)

Câu 20 Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,0,0} \right),B\left( {0,3,0} \right),C\left( {0,0, - 4} \right)$. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác $ABC$. Tìm phương trình tham số của đường thẳng $OH$ trong các phương án sau:  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

\(H\)  là trực tâm của $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.$

Ta giả sử $H\left( {x,y,z} \right)$, ta có

\(\overrightarrow {BC}  = (0, - 3, - 4)\)

\(\overrightarrow {AC}  = ( - 2,0, - 4)\)

\(\overrightarrow {AH}  = (x - 2,y,z)\)

\(\overrightarrow {BH}  = (x,y - 3,z)\)

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 2,3,0)\).

Điều kiện \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\)

Điều kiện \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\)

Ta tính \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\).

Điều kiện \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH}  = 0 \Leftrightarrow  - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow  - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\)

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}&{}\\{x + 2z = 0}&{}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{72}}{{61}}}&{}\\{y = \dfrac{{48}}{{61}}}&{}\\{z = \dfrac{{ - 36}}{{61}}}&{}\end{array}} \right.\)

 

Suy ra \(H(\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\)

Suy ra \(\overrightarrow {OH}  = (\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\)  là vecto chỉ phương của $OH$.

Chọn \(\vec u = (6,4, - 3)\)  là vecto chỉ phương của $OH$ và $OH$ qua $O\left( {0,0,0} \right)$ nên phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6t}&{}\\{y = 4t}&{}\\{z =  - 3t}&{}\end{array}} \right.\)