Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Đường thẳng $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$ có một VTCP là $\left( {a;b;c} \right)$.

Đường thẳng đi qua điểm $\left( { - {x_0}; - {y_0}; - {z_0}} \right)$ và có VTCP $\left( { - a; - b; - c} \right)$ có phương trình:

$\dfrac{{x - \left( { - {x_0}} \right)}}{{ - a}} = \dfrac{{y - \left( { - {y_0}} \right)}}{{ - b}} = \dfrac{{z - \left( { - {z_0}} \right)}}{{ - c}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + {x_0}}}{a} = \dfrac{{y + {y_0}}}{b} = \dfrac{{z + {z_0}}}{c}$

Vì $d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 - t\\y = 1 - t\\z = 0 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ nên $d$ đi qua điểm $\left( {0;1;0} \right)$.

Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của $d$ nên chỉ có đáp án D đúng.

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:

$\dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{{1 - 2}}{{ - 2}} \ne \dfrac{2}{1}$ nên A sai.

$\dfrac{{1 + 1}}{2} = \dfrac{{0 - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{1}{1}$ nên B đúng.

Thay tọa độ các điểm đáp án $C,D$ vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{1 - 1}}{2} = \dfrac{{1 - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0 \Rightarrow A \in d\\\dfrac{{ - 1 - 1}}{2} \ne \dfrac{{ - 1 - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow B \notin d\\\dfrac{{2 - 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{0 + 1}}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow C \in d\end{array}$

Do đó cả hai điểm $A$ và $C$ đều thuộc $d$.

Phương trình chính tắc của (d) đi qua ${M_0}({x_0},{y_0},{z_0})$   và nhận $\vec u = (a,b,c)$ làm vecto chỉ phương là $(d):\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$. Do đó D là đáp án sai. 

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 0t\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {0;3; - 1} \right)$

Phương trình trục $Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Phương trình trục $Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Do đó chỉ có điểm $N\left( {0,1,0} \right)$ thuộc trục $Oy$

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;0; - 2} \right)\\\overrightarrow u  = \left( {2;3;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}$

$\Delta :\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$ đi qua $M\left( {4; - 3;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)$  làm VTCP nên $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có $\vec a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)$  nên chọn $\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)$ là vecto chỉ phương của $d$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2,0, - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương $\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)$ là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên có dạng $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}$.

Ta có $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Ta có $OI$  nhận $\overrightarrow {OI}  = \left( {2; - 1;1} \right)$ là vectơ chỉ phương và đi qua điểm $O\left( {0,0,0} \right)$ nên $d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}$.

Gọi $I$  là tâm của hình bình hành $ABCD$. Suy ra $I$ là trung điểm của $AC$. Ta có $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Phương trình $BI$ cũng chính là phương trình đường chéo $BD$.

+ Phương trình $BI$ nhận $\overrightarrow {BI}  = (4, - 4,0)$ là vectơ chỉ phương

+ qua điểm $B\left( { - 2,3,1} \right)$ và cũng qua điểm $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là $(1,1,0)$, đây không là vecto chỉ phương của $BI$.

Phương trình đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương là $\vec u = (3,1,1)$ và đi qua điểm $A\left( {2,1,3} \right)$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.$

+ Phương án A đúng.

+ Với $t =  - 1$ ta có $B\left( { - 1,0,2} \right)$ thuộc $d$ . Do đó B đúng.

+ Với $t = 1$, ta có $C\left( {5,2,4} \right)$ thuộc $d$ . Do đó C đúng.

Vì $d//Oz$ nên ta có $\overrightarrow {{u_d}}  = \vec k = (0,0,1)$. Vì $d$ qua $A\left( {1,2, - 3} \right)$ nên $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z =  - 3 + t\end{array} \right.$(*)

Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:

+ A,B, D sai vecto chỉ phương.

+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}}$. Kiểm tra điểm $B\left( {1,2,3} \right)$ thuộc (*) nên C đúng.

Ta có $\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = (2,1, - 1)$  và  $\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = (3,2,2)$

Vì $d$ vuông góc với ${d_1}$  và ${d_2}$  nên có $\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {4; - 7;1} \right)$

Vì $d$ qua $A\left( {1,2,3} \right)$ nên có phương trình $d:\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 7}} = \dfrac{{z - 3}}{1}$

$H$  là trực tâm của $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.$

Ta giả sử $H\left( {x,y,z} \right)$, ta có

$\overrightarrow {BC}  = (0, - 3, - 4)$

$\overrightarrow {AC}  = ( - 2,0, - 4)$

$\overrightarrow {AH}  = (x - 2,y,z)$

$\overrightarrow {BH}  = (x,y - 3,z)$

$\overrightarrow {AB}  = ( - 2,3,0)$.

Điều kiện $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0$

Điều kiện $\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0$

Ta tính $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)$.

Điều kiện $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH}  = 0 \Leftrightarrow  - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow  - 6x - 4y + 3z + 12 = 0$

Giải hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}&{}\\{x + 2z = 0}&{}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{72}}{{61}}}&{}\\{y = \dfrac{{48}}{{61}}}&{}\\{z = \dfrac{{ - 36}}{{61}}}&{}\end{array}} \right.$

Suy ra $H(\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})$

Suy ra $\overrightarrow {OH}  = (\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})$  là vecto chỉ phương của $OH$.

Chọn $\vec u = (6,4, - 3)$  là vecto chỉ phương của $OH$ và $OH$ qua $O\left( {0,0,0} \right)$ nên phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6t}&{}\\{y = 4t}&{}\\{z =  - 3t}&{}\end{array}} \right.$