Các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Cho đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n \). Nếu \(d//\left( P \right)\) thì:
Ta có: \(d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u \bot \overrightarrow n \\M \in d,M \notin \left( P \right)\end{array} \right.\)
Do đó nếu \(d//\left( P \right)\) thì \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow n \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 7z + 1 = 0\). Phương trình tham số của d là:
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;3; - 7} \right)\).
Do \(d \bot \left( \alpha \right)\) nên có VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;3; - 7} \right)\).
Cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 3 = 0\). Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là:
\(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - 2t\\z = 3t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1 + 2t; - 1 - 2t;3t} \right)\)
\(M = d \cap \left( P \right) \Rightarrow 1 + 2t - 1 - 2t - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1;1; - 3} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 3z - 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{1}\). Khẳng định nào sau đây đúng:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;3;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
+) \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 3 - 6 + 3 = 0\). \(\left( 1 \right)\)
+) \(1 - 2.2 + 3.3 - 1 \ne 0\) hay \(M \notin \left( P \right)\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(d\) song song với \(\left( P \right)\).
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):x + y + z - 10 = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Giả sử $M$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$.
Lấy \(M \in (d) \Rightarrow M\left( {2t;1 - t;3 + t} \right)\)
Vì \(M \in (P) \Rightarrow 2t + 1 - t + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)
Suy ra ta có \(M\left( {6; - 2;6} \right)\), suy ra $d$ cắt $(P)$ tại $1$ điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.
Mặt khác giả sử $d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{1}$(vô lý). Do đó loại C
Cho $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{m} = \dfrac{{z - 1}}{{m - 2}};\,\,\,(P):x + 3y + 2z - 5 = 0$. Tìm $m$ để $d$ và $(P)$ vuông góc với nhau.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} = (2;m;m - 2)\\\overrightarrow {{n_P}} = (1;3;2)\end{array} \right.$
$d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{m}{3} = \dfrac{{m - 2}}{2} \Leftrightarrow m = 6$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng \((P):4x + y - 2 = 0\) . Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
$\left( P \right)$ vuông góc với $d \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{u_d}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} = k.\overrightarrow {{u_d}} $.
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4;1;0} \right)\) và trong các đáp án chỉ có đáp án D thỏa mãn $\overrightarrow {{n_P}} $ cùng phương $\overrightarrow {{u_d}} $.
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - z - 3 = 0$ và $\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0$. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
Dễ thấy điểm \(\left( {0;2; - 1} \right)\) thuộc cả hai mặt phẳng.
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2; - 3;1} \right)\)
Giao tuyến \(d\) đi qua điểm \(A\left( {0;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 3;1} \right)\) làm VTCP nên phương trình chính tắc của \(d\) là:
\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):4x + 3y - 7z + 3 = 0$ và điểm $I(0;1;1)$. Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ qua $I$ là:
$(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = (4;3; - 7)$
Lấy $A(0; - 1;0) \in \left( \alpha \right)$. Gọi $A' \in \left( \beta \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$.
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\).
$\begin{array}{l} \Rightarrow A'(0;3;2)\\ \Rightarrow 4(x - 0) + 3(y - 3) - 7(z - 2) = 0\\ \Rightarrow 4x + 3y - 7z + 5 = 0\end{array}$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho cho điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 4z - 36 = 0\). Tọa độ hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(\left( P \right)\) là.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
Do đó \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).
Khi đó tọa độ hình chiếu \(H\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\\2x - 5y + 4z - 36 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; - 2;6} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;2; - 3)$và mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 1 = 0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $ A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là:
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}(P) \bot (d) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = (1;1; - 2)\\A(1;2; - 3) \in (d)\end{array} \right. \Rightarrow d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 2}}$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và 2 đường thẳng${d_1}:\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 6}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}};{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 5 - 3t\\z = 4\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng qua $A$ và song song với ${d_1},{d_2}$ là:
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 3;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$
Vì $(P)//{d_1},{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$
Ta có:
$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} ( - 3; - 2; - 1)\\A(1;2;3)\end{array} \right. \Rightarrow - 3(x - 1) - 2(y - 2) - (z - 3) = 0\\ \Leftrightarrow - 3x - 2y - z + 10 = 0\end{array}$
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + z - 4 = 0\). Phương trình hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 3;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 3;2; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 1; - 7} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 1; - 7} \right)\) làm VTPT nên \(\left( Q \right):4\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) - 7\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 7z + 6 = 0\)
Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right),\left( Q \right)\).
Dễ thấy điểm \(\left( {0; - 1;1} \right)\) thuộc cả hai mặt phẳng và \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;1;1} \right)\)
Do đó \(d'\) đi qua \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;1;1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng \((P):x - y - z - 1 = 0\) và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}$. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A(1;1; - 2)\) vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là:
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 2; - 5;3)$
Vì \(\Delta \) vuông góc với $d$ và song song với $ (P)\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 2; - 5;3} \right)$
Ta có:
\((\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} = ( - 2; - 5;3)\\A(1;1; - 2) \in (\Delta )\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 2}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua hai điểm \(A(1;1;2),B(0; - 1;1)\) và song song với đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}$ là:
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 5;1;3)$
Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và song song với đường thẳng $d$ nên ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5;1;3} \right)\)
Ta có:
$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = ( - 5;1;3)\\A(1;1;2) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow - 5(x - 1) + (y - 1) + 3(z - 2) = 0\\ \Leftrightarrow - 5x + y + 3z - 2 = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z + 2 = 0\end{array}$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x - y + 3z + 2 = 0$ và đường thẳng $(d):\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{3}$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với $(P)$ là:
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;3} \right)\\\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {9;0; - 3} \right)$
Vì $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với $ (P) \Rightarrow \overrightarrow n = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} {\rm{]}}$. Chọn $\overrightarrow n = (3;0; - 1)$
Lấy $A(2; - 1;1) \in (d)$, suy ra \(A \in (Q)\)
Ta có:
$(Q):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n = (3;0; - 1)\\A(2; - 1;1) \in (Q)\end{array} \right. \Rightarrow 3(x - 2) - 1(z - 1) = 0 $
$\Leftrightarrow 3x - z - 5 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Đường thẳng \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) đồng thời cắt và vuông góc với \(d\) có phương trình:
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 3} \right)\); \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Gọi \(A = d \cap \left( P \right)\), tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\\x + 2y - 3z + 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;1;1} \right)\).
Do \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1; - 2; - 1} \right)\).
Khi đó đường thẳng \(\Delta \) được xác định là đi qua \(A\left( { - 3;1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) nên có phương trình \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm \(A(1;1;1),B(4;1;0)\) và \(C( - 1;4; - 1)\). Mặt phẳng $(P)$ nào dưới đây chứa đường thẳng $AB$ mà khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng \(\sqrt {14} \) .
Xét đáp án A có
$1 - 2.1 + 3.1 - 2 = 0 \Rightarrow A \in (P)$
$4 - 2.1 + 3.0 - 2 = 0 \Rightarrow B \in (P)$
\(d(C,(P)) = \dfrac{{| - 1 - 8 - 3 - 2|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} \)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1),B( - 2;1;3),C(2; - 1;1),D(0;3;1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ sao cho $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ là:
Vì $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ nên ta có $(P)//CD$
Ta có
\(\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 1;2);\overrightarrow {CD} = ( - 2;4;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = ( - 8; - 4; - 14)\)
Vì $(P)//CD$ và $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]\). Chọn $\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)$
$ \Rightarrow (P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow (P):4(x - 1) + 2(y - 2) + 7(z - 1) = 0 $
$\Leftrightarrow 4x + 2y + 7z - 15 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua \(A\left( { - 1;3; - 4} \right)\) cắt trục \(Ox\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\):
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;0} \right)\).
Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm. Ta có \(d \cap Ox = B\left( {b;0;0} \right)\).
Suy ra \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {AB} = \left( {b + 1; - 3;4} \right)\).
Do \(d\parallel \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow \left( {b + 1} \right).1 + \left( { - 3} \right).2 + 4.0 = 0 \)\(\Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow B\left( {5;0;0} \right).\)
Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.\).
