Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Nhận thấy \((P):x - y + 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {3; - 3;0} \right),\overrightarrow a  = \left( { - 1;1;0} \right)\) cũng là các véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2, - 3,4} \right)$ và nhận \(\vec n = ( - 2,4,1)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\( - 2(x - 2) + 4(y + 3) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 4y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\)

Ta có: $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua $A\left( {1,3, - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm VTPT nên \(\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và nhận \(\overrightarrow {AB} \)  làm vectơ pháp tuyến.

Có $I\left( {3, - 2,0} \right)$ và \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2, - 2, - 4)\). Chọn \(\vec n = (1,1,2)\) là vectơ pháp tuyến ta có phương trình

\((x - 3) + (y + 2) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 1 = 0\)

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$  qua $B\left( {1,0,1} \right)$ và nhận \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\)  là vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (0,3, - 1)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (1,6, - 2)\). Suy ra  \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0, - 1, - 3} \right)\)

Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.

Ta sử dụng phương trình đoạn chắn \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\) 

Có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,2, - 3)\)  và \(\overrightarrow {{n_R}}  = (2, - 3,1)\). Suy ra \(\vec n = ( - 7, - 7, - 7)\). Chọn \(\vec n' = (1,1,1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $\left( P \right)$ là

\((x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0\)

Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:

Bước 1: Nhập các vecto

MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

Bước 2: Tính tích có hướng

Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”

Nhận xét $\left( P \right)$  và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng song song.

Chọn $A\left( { - 11,0,0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ . Ta có

\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \dfrac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3\) 

Vì $\left( P \right)$  song song với $\left( Q \right)$  nên $\left( P \right):x + y - z + c = 0$  với \(c \ne  - 2\) .

Chọn $A\left( {2,0,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$ ta có

\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow |2 + c| = 6\).

 Suy ra $c = 4$ hoặc $c =  - 8$.

Yêu cầu bài toán tương đương với \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} \ne \dfrac{7}{{ - 4}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{2}\)

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow m.1 + 1.( - 3) + ( - 2).m = 0 \Leftrightarrow  - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\)

$A,B$ thuộc $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\end{array}} \right.\)

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$  nên ta có điều kiện $3a + b + c = 0$.

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\\{3a + b + c = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}&{}\\{b = 27}&{}\\{c =  - 45}&{}\end{array}} \right.\)

 Suy ra $S =  - 12$.

Theo giả thiết \((ABC) \bot (P)\)  nên ta có \(0.bc + 1.c - 1.b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c\)

Với giả thiết \(d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}\)  ta có \(\dfrac{{| - bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{3}\)

Vì $b,c > 0$ nên có \(\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}}  = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}\)

Thay $b = c > 0$ vào ta được \(2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2}\), suy ra \(c = \dfrac{1}{2}\)

Vậy $M = b + c = 1$.

$\left( P \right)$ có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1,3, - 2),\left( Q \right)\) có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,1,2)\), mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_1}}  = (0,0,1)\) , mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_2}}  = (0,1,0)\), mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1,0,0)\).

Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0\)  (1)

Có $\cos \left( \left( P \right),\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{|\overrightarrow{{{n}_{P}}}|.|\overrightarrow{{{n}_{1}}}|}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ (2)

Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \dfrac{3}{{\sqrt {14} }}\)  (3)

 Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \dfrac{1}{{\sqrt {14} }}\) (4)

Trong $[0;90^0]$, góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa \((P)\) và \((Q)\) lớn nhất.

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = (1 - x,2 - y, - 1 - z)\)  và \(\overrightarrow {MB}  = (2 - x, - 1 - y,3 - z)\)

Theo giả thiết \(M{A^2} - M{B^2} = 2 \Leftrightarrow M{A^2} = 2 + M{B^2}\)  nên ta có

\({(1 - x)^2} + {(2 - y)^2} + {( - 1 - z)^2} = 2 + {(2 - x)^2} + {( - 1 - y)^2} + {(3 - z)^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 2x - 4y + 2z + 6 =  - 4x + 2y - 6z + 16\)

\( \Leftrightarrow 2x - 6y + 8z - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 5 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua giao tuyến của \(\left( Q \right),\left( R \right)\) nên có phương trình dạng \(m\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) + n\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\)  với \({m^2} + {n^2} > 0.\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {3;4;1} \right)\) nên \(56m + 108n = 0 \Rightarrow \dfrac{m}{n} =  - \dfrac{{27}}{{14}}.\)

Chọn \(m = 27,n =  - 14\) thì:

\(\begin{array}{l}\left( P \right):27.\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) - 14.\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 75x - 50y - 150z + 575 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {4; - 2;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 1;3} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M'\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình:

\(2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 4} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 20 = 0\) 

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\) là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Lại có $OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a =  - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b =  - \,c\\a =  - \,b =  - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b =  - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$

Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giả sử $M\left( {x,y,z} \right)$ là điểm cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{|x + 2y - 2z + 1|}}{3} = \dfrac{{|x - 2y + 2z - 1|}}{3}\\ \Leftrightarrow |x + 2y - 2z + 1| = |x - 2y + 2z - 1|\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 2z + 1 = x - 2y + 2z - 1}\\{x + 2y - 2z + 1 =  - (x - 2y + 2z - 1)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4y - 4z + 2 = 0}\\{2x = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - 2z + 1 = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\end{array}\) 

Giả sử  \(M({x_0},{y_0},{z_0})\)  là điểm thuộc \(({P_m})\)  ta có

\(\begin{array}{l}m{x_0} + m(m + 1){y_0} + {(m - 1)^2}{z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow m{x_0} + {m^2}{y_0} + m{y_0} + {m^2}{z_0} - 2m{z_0} + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow ({y_0} + {z_0}){m^2} + ({x_0} + {y_0} - 2{z_0})m + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} + {z_0} = 0}&{}\\{{x_0} + {y_0} - 2{z_0} = 0}&{}\\{{z_0} - 1 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_0} = 1}&{}\\{{y_0} =  - 1}&{}\\{{x_0} = 3}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(3, - 1,1)\end{array}\)