Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $x + 3y - 2z + 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình $x + y + 2z - 1 = 0$. Trong các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ , xác định mặt phẳng tạo với $\left( P \right)$ góc có số đo lớn nhất.

$\left( P \right)$ có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1,3, - 2),\left( Q \right)\) có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,1,2)\), mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_1}}  = (0,0,1)\) , mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_2}}  = (0,1,0)\), mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1,0,0)\).

Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0\)  (1)

Có $\cos \left( \left( P \right),\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{|\overrightarrow{{{n}_{P}}}|.|\overrightarrow{{{n}_{1}}}|}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ (2)

Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \dfrac{3}{{\sqrt {14} }}\)  (3)

 Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \dfrac{1}{{\sqrt {14} }}\) (4)

Trong $[0;90^0]$, góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa \((P)\) và \((Q)\) lớn nhất.