Cấp số cộng

\({u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 3.$

\({u_3} = {u_1} + 2d\) \( \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d =  - 2 - 2.3 =  - 8\)

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.\)

Ta có \({S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},\) \({S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2} \) \(\Rightarrow {u_2} = 7 \Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2017\\{u_5} = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 2017\\{u_1} + 4d = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2041\\d =  - 24\end{array} \right. \\ \Rightarrow {u_{2018}} = {u_1} + 2017d \\= 2041 + 2017\left( { - 24} \right) =  - 46367\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2 = 2x\\x + y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 6\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.

Ta có

\(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right) \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}\)

Vậy ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_8} = 24 = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \) Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.

Ta thấy tổng $1 + 7 + 13 +  \ldots  + x$ là tổng của  cấp số cộng với \({u_1} = 1,d = 6\).

Giả sử $x$ là số hạng thứ $n$, khi đó \(x = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)6\), và $\begin{array}{l}1 + 7 + 13 +  \ldots  + x = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {2 + \left( {n - 1} \right).6} \right)}}{2} = 280\\ \Rightarrow 2n + 6n\left( {n - 1} \right) = 560\\ \Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 10\end{array}$

Vậy \(x = 1 + 9.6 = 55\).

\(\begin{array}{l}u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {{u_1} + 2} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 6} \right)^2} = 3u_1^2 + 24{u_1} + 56\\ = 3\left( {u_1^2 + 8{u_1}} \right) + 56 = 3{\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + 8 \ge 8\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({u_1} + 4 = 0 \Rightarrow {u_1} =  - 4\)

Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 4 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 6\).

Nếu \({u_n} = 2018 \Rightarrow 2n - 6 = 2018 \Leftrightarrow n = 1012\)

Ta có \({x_3} + {x_{13}} = 80 \Leftrightarrow {x_1} + 2d + {x_1} + 12d = 80 \Leftrightarrow 2{x_1} + 14d = 80\)

\({S_{15}} = \dfrac{{15\left( {2{x_1} + 14d} \right)}}{2} = \dfrac{{15.80}}{2} = 600\) .

Ta có

$\begin{array}{l}1 + \sin x + 1 + \sin 3x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 2 + \sin x + 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 4\sin x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  \pm 1\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\\ + )\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \le 2\pi  \\\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{3}{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\\ + )x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \le 2\pi  \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{13}}{{12}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{11\pi }}{6}\\ + )x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi  \le 2\pi  \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \dfrac{5}{{12}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\\ \Rightarrow S = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{2} + \dfrac{{11\pi }}{{6}} + \dfrac{{7\pi }}{{6}} = 5\pi \end{array}$

Gọi 3 cạnh của tam giác vuông là \(a,b,c\left( {a < b < c} \right)\). Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\\dfrac{{a + b + c}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\a + b + c = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\3b = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\{a^2} + 36 = {c^2}\\a = 12 - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 12 - c\\144 - 24c + {c^2} + 36 = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\c = \dfrac{{15}}{2}\\a = \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \\ \Rightarrow d = b - a = 6 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\end{array}\)

Gọi ${u_n}$ là số hạt dẻ ở ô thứ $n$ . Khi đó ta có ${u_1} = 7$ và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 5,\forall n \ge 1.\)

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 7$ và công sai $d = 5$ nên ta có

\({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2.7 + \left( {n - 1} \right)5} \right]}}{2} = \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2}\)

Theo giả thiết ta có \({S_n} = 25450\) \( \Rightarrow \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2} = 25450 \Leftrightarrow n = 100\)

Vậy bàn cờ có $100$ ô.

Gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là \(u,u + d,u + 2d,u + 3d\). Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u + u + d + u + 2d + u + 3d = 22\\{u^2} + {\left( {u + d} \right)^2} + {\left( {u + 2d} \right)^2} + {\left( {u + 3d} \right)^2} = 166\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4u + 6d = 22\\4{u^2} + 12ud + 14{d^2} = 166\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + 3d = 11\\2{u^2} + 6ud + 7{d^2} = 83\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{{11 - 3d}}{2}\\\dfrac{{9{d^2} - 66d + 121}}{2} + 6\dfrac{{11 - 3d}}{2}d + 7{d^2} = 83\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 9{d^2} - 66d + 121 + 66d - 18{d^2} + 14{d^2} = 166\\ \Leftrightarrow 5{d^2} = 45 \Leftrightarrow d =  \pm 3\end{array}$

$d = 3 \Rightarrow u = \dfrac{{11 - 3.3}}{2} = 1 \Rightarrow $ 4 số cần tìm là  1, 4, 7, 10

$d =  - 3 \Rightarrow u = \dfrac{{11 - 3\left( { - 3} \right)}}{2} = 10 \Rightarrow $  4 số cần tìm là $10, 7, 4, 1.$

Ký hiệu ${h_n}$  là độ cao bậc $n$ so với mặt sân. Khi đó ta có \({h_{n + 1}} = {h_n} + 0,18\,\,\left( m \right)\), trong đó ${h_1} = 0,5 m$ là độ cao của bậc 1 so với mặt sân.

Dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({h_1} = 0,5\)  và công sai $d = 0,18$. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là \({h_n} = {h_1} + \left( {n - 1} \right)d= 0,5+ \left( {n - 1} \right)0,18 \)\( = 0,18n + 0,32\) (mét).

Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt b  + \sqrt c }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \dfrac{2}{{\sqrt c  + \sqrt a }}\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c  + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c  + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b  + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b  + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {ac}  + \sqrt {bc}  + a + \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + c + \sqrt {ab}  + \sqrt {ac}  = 2\sqrt {ab}  + 2b + 2\sqrt {ac}  + 2\sqrt {bc} \\ \Leftrightarrow a + c = 2b\end{array}\)

Khi đó $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.

Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận:

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \dfrac{b}{a} = 3m\)

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng nên \({x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\).

Thay ${x_2} = m$ vào phương trình ban đầu ta được \({m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}\left( {m - 4} \right) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)

Thử lại:

Khi $m = 0$ , phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi $m = 1$ , phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$.

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.

Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì $m$ nguyên.

Khi $m = 0$ ta có phương trình \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi $m = 1$ phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$ .

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0\)   (*)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 2{m^2} - 7m > 0\\10 > 0\\2{m^2} + 7m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25\)

Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là \({t_1},{t_2}\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)\). Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau \( - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} \).

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì \( - \sqrt {{t_1}}  + \sqrt {{t_2}}  = 2\sqrt {{t_1}}  \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}}  = \sqrt {{t_2}}  \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\)

Mà theo định lí Vi-et ta có \({t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9\)

Lại có \({t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Do đó \({1^3} + {\left( { - \dfrac{9}{2}} \right)^3} =  - \dfrac{{721}}{8}\)

\({u_1} = 2;{u_2} = 5\).

Vì đây là cấp số cộng nên công sai \(d = {u_2} - {u_1} = 3\).

Tháng thứ hai người đó nhận được số tiền là: \(6.000.000 + 200.000 = 6.200.000\) đồng.

Tháng thứ ba người đó nhận được số tiền là: \(6.000.000 + 2 \times 200.000 = 6.400.000\) đồng.

Tháng thứ \(n\) người đó nhận được số tiền là: \(6.000.000 + \left( {n - 1} \right) \times 200.000\) đồng.

\( \Rightarrow \) Tháng thứ 7 người đó nhận được số tiền là: \(6.000.000 + 6 \times 200.000 = 7.200.000\) đồng.