Bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Ta có: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) nên A đúng.

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\(1 = \left| {z - 2 + 2i} \right| = \left| {z - \left( {2 - 2i} \right)} \right| \ge \left| z \right| - \left| {2 - 2i} \right| = \left| z \right| - 2\sqrt 2  \Rightarrow \left| z \right| \le 1 + 2\sqrt 2 \)

Vậy \(\max \left| z \right| = 1 + 2\sqrt 2 \)

Ta có: \(\left| {z - i} \right| = \left| {\left( {z - 2 - 2i} \right) + \left( {i + 2} \right)} \right| \ge \left| {\left| {z - 2 - 2i} \right| - \left| {i + 2} \right|} \right| = \left| {1 - \sqrt 5 } \right| = \sqrt 5  - 1\)

Vậy \(\left| {z - i} \right| \ge \sqrt 5  - 1\) nên \(\min \left| {z - i} \right| = \sqrt 5  - 1\)

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\(\sqrt 2  = |z - 2 - 2i| \ge |z| - | - 2 - 2i| = |z| - 2\sqrt 2  \Rightarrow |z| \le 3\sqrt 2 \)

Suy ra \(\max |z| = 3\sqrt 2 \).

Kiểm tra các đáp án đã cho chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

\(\left| {|z| - |3i|} \right| \le |z + 3i| \le \left| {|z| + |3i|} \right| \Leftrightarrow |2 - 3| \le |w| \le |2 + 3| \Leftrightarrow 1 \le |w| \le 5\)

Nhận thấy với \(z =  - 2i\) thì \(\left| w \right| = 1\) và với \(z = 2i\) thì \(\left| w \right| = 5\) nên \(1\) và \(5\) là GTNN và GTLN của \(\left| w \right|\).

Ta có \(|z - 3 + 4i| = 2 \Leftrightarrow |2z - 6 + 8i| = 4.\)

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có

\(4 = |2z - 6 + 8i| = |(2z + 1 - i) - (7 - 9i)| \ge |2z + 1 - i| - |7 - 9i| = |w| - \sqrt {130} \)

\( \Rightarrow |w| - \sqrt {130}  \le 4 \Rightarrow |w| \le 4 + \sqrt {130} \)

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có \(1 = \left| {{z^2} - i} \right| \ge \left| {{z^2}} \right| - \left| i \right| = {\left| z \right|^2} - 1 \Rightarrow {\left| z \right|^2} \le 2 \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right| \le \sqrt 2 \)

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

\(|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2  - 4 = m\)

\(|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2  = M\)

Suy ra \({M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2  - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68\)

Giả sử \(z = x + yi\), ta có \(3x - 4y - 3 = 0\), suy ra \(y = \dfrac{3}{4}\left( {x - 1} \right)\)

Ta có \(|z| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} + \dfrac{9}{{16}}{{(x - 1)}^2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {16{x^2} + 9{{(x - 1)}^2}} \) \( = \dfrac{1}{4}\sqrt {25{x^2} - 18x + 9}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {{{\left( {5x - \dfrac{9}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{144}}{{25}}}  \ge \dfrac{1}{4}.\dfrac{{12}}{5} = \dfrac{3}{5}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = \dfrac{9}{{25}}\) và \(y =  - \dfrac{{12}}{{25}}\).

Giả sử \(z = a + bi\), theo giả thiết ta có

\(|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  = 10\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với $A=1;B=1;X=\sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} ;$$Y=\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} $ ta có

\(10 = 1.\sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + 1.\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  \)\(\le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]} \) \( = \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]}  = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \)

Suy ra \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9}  \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\)

Do đó \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 4\)

 Giả sử \({z_1} = {x_1} + {y_1}i\),\({z_2} = {x_2} + {y_2}i\).

Theo giả thiết \(|{z_1} - {z_2}| = 1\) có

\({({x_1} - {x_2})^2} + {({y_1} - {y_2})^2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 - 2{y_1}{y_2} = 1\) (1)

Theo giả thiết \(|{z_1} + {z_2}| = 3\) có

\({({x_1} + {x_2})^2} + {({y_1} + {y_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 9\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

\(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5\)

Ta có

\(T = \sqrt {x_1^2 + y_1^2}  + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} \)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

\(T \le \sqrt {2.(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)}  = \sqrt {10} \)

Có \(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i\). Đặt \(z = x + yi\) thì

\(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành

\({(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \dfrac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \dfrac{3}{5}y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{3}{{10}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{10}}\) (*)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua $O$ nên min $OM = 0$ khi \(M \equiv O\) hay $M\left( {0,0} \right)$, do đó $z = 0$ hay $min\left| z \right| = 0$.

Có \(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} =  - i\). Đặt \(z = x + yi\) thì

\(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 =  - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành \({(y + 1)^2} + {x^2} = 1\)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*) có tâm $I\left( {0, - 1} \right)$, bán kính bằng $1$.

Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ lớn nhất.

Vì \(O\) nằm trên đường tròn nên $OM$ lớn nhất khi $OM$ là đường kính của (*) \( \Leftrightarrow \) $I$ là trung điểm của $OM$ \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2{x_I}}&{}\\{y = 2{y_I}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}&{}\\{y =  - 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)\). Suy ra \(z =  - 2i \Leftrightarrow |z| = 2\)

Vậy $\max \left| z \right| = 2$

Gọi $z = x + yi$;

Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Vậy quỹ tích các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.

Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $

$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$

Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)}  = 30$ (theo bunhiacopxki)

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$ ta có:

$\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( { - 3; - 4} \right)$ và bán kính $r = 2$

Từ hình vẽ ta thấy số phức \({z_0}\) có mô đun nhỏ nhất nếu \({z_0}\) có điểm biểu diễn là \(M\).

Ta có: $\overrightarrow {OI}  = ( - 3; - 4)$  nên đường thẳng đi qua \(O\) và \(I\) là $OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 4t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3t;4t} \right)$

Mặt khác $M \in \left( C \right)$ nên: ${\left( {3t + 3} \right)^2} + {\left( {4t + 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 3}}{5}\\t = \dfrac{{ - 7}}{5}\end{array} \right.$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( {\dfrac{{ - 21}}{5};\dfrac{{ - 28}}{5}} \right)$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$  và gần $O$ nhất.

$ \Rightarrow z = \dfrac{{ - 9}}{5} - \dfrac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3$

Theo bài ra ta có :

+) \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \({I_1}\left( {0;0} \right)\) bán kính \({R_1} = 2\). 

\(\left| i \right|\left| {w - \dfrac{{2 - 5i}}{i}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( { - 5 - 2i} \right)} \right| = 1\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \({I_2}\left( { - 5; - 2} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\).

Đặt  \(T = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - w - \overline z } \right| = 2\left| {z - w - \overline z } \right|\)

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z - \overline z  = 2bi\).

\( \Rightarrow T = 2\left| {2bi - w} \right|\).

Gọi \(M\left( {0;2b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(2bi\), \(N\) là điểm biểu diễn số phức \(w\).

\( \Rightarrow T = 2M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}\).

Do \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow  - 2 \le b \le 2 \Leftrightarrow  - 4 \le 2b \le 4\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đoạn \(AB\) với \(A\left( { 0;-4} \right),\,\,B\left( {0;4} \right)\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow N\left( { - 4; - 2} \right),M\left( {0; - 2} \right)\).

Vậy \({T_{\min }} = 2.4 = 8\).

Cách 1: Dùng phương pháp hình học \( \to \) Kỹ năng dồn số phức.

* \(P = \left| {z + i\,\overline {\rm{w}}  - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|\).

Trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 - 8i\\v =  - i\overline w \end{array} \right.\), \(u\) có điểm biểu diễn là \(A\), \(v\) có điểm biểu diễn là \(B\).

\( \Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow \) Cần đạt Min.

* \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(A\) biểu diễn số phức \(u\) là đường tròn: \(\left( {{C_1}} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 6; - 8} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.\).

* \(\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\overline w } \right| = \left| { - i} \right|.2\) \( \Rightarrow \left| { - i\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(B\) biểu diễn số phức \(v\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;0} \right)\\{R_2} = 2\end{array} \right.\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = {R_1} = 1\\OB = {R_2} = 2\\OI = 10\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7\).

Min đạt được khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 27}}{5};\dfrac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u =  - \dfrac{{27}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i\\\overrightarrow {OB}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 6}}{5};\dfrac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v =  - \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = u + 6 + 8i = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\ - i\overline w  = v \Rightarrow \overline w  = \dfrac{v}{{ - i}} = \dfrac{{ - \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i}}{{ - i}} = \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i \Rightarrow w = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( {\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\).

Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ

Ta có BĐT cho 3 vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \) thì \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| \ge \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| - \left| {\overrightarrow c } \right|\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|\\\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \\\overrightarrow a  = m\overrightarrow c \end{array} \right.\,\,\left( {k;m < 0} \right)\).

* Đặt \(P = \left| {z + i\,\overline {\rm{w}}  - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline w }_{ = \overrightarrow c }} \right|\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 6 - 8i} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a \left( { - 6; - 8} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10\\z \Leftrightarrow \overrightarrow b  \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\\i\overline w  \Leftrightarrow \overrightarrow c  \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline w } \right| = \left| w \right| = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow P = \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| \ge \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| - \left| {\overrightarrow c } \right| = 10 - 1 - 2 = 7\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 7\), đạt Min khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|\,\,\left( {dung\,\,do\,\,10 > 1 + 2} \right)\\\overrightarrow a  =  - 10\overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow b  =  - \dfrac{1}{{10}}\overrightarrow a  = \left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}} \right)\\\overrightarrow a  =  - 5\overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow c  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow a  = \left( {\dfrac{6}{5};\dfrac{8}{5}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\i\overline w  = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i \Leftrightarrow w = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( {\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\).