Câu hỏi:
2 năm trước
Cho số phức \(z\) có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng \(3x - 4y - 3 = 0\), $\left| z \right|$ nhỏ nhất bằng.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Giả sử \(z = x + yi\), ta có \(3x - 4y - 3 = 0\), suy ra \(y = \dfrac{3}{4}\left( {x - 1} \right)\)
Ta có \(|z| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{9}{{16}}{{(x - 1)}^2}} = \dfrac{1}{4}\sqrt {16{x^2} + 9{{(x - 1)}^2}} \) \( = \dfrac{1}{4}\sqrt {25{x^2} - 18x + 9} = \dfrac{1}{4}\sqrt {{{\left( {5x - \dfrac{9}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{144}}{{25}}} \ge \dfrac{1}{4}.\dfrac{{12}}{5} = \dfrac{3}{5}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = \dfrac{9}{{25}}\) và \(y = - \dfrac{{12}}{{25}}\).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng phương pháp thế:
Gọi \(z = x + yi\), thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ \(x,y\), biểu diễn \(y\) qua \(x\) hoặc \(x\) qua \(y\) rồi thế vào biểu thức của \(\left| z \right|\) và tìm GTNN.
