Diện tích hình nón, thể tích khối nón

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là: ${S_{xq}} = \pi rl$

Áp dụng công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta được: ${S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Từ công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta có: $l = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}}$ 

Quan sát hình vẽ ta thấy: $l = AB,r = OB,h = AO$.

Mà $A{B^2} = A{O^2} + O{B^2}$ nên ${l^2} = {r^2} + {h^2}$ 

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là: ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho hai đường thẳng $d,d'$ cắt nhau tại $O$ và tạo thành góc $\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right)$. Khi quay mặt phẳng $\left( P \right)$ xung quanh $d$ thì đường thẳng $d'$ sinh ra một mặt được gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt mặt nón).

Do đó điều kiện để có được mặt nón tròn xoay là góc ${0^0} < \alpha  < {90^0}$.

Áp dụng công thức ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$ ta được: ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.2 + \pi {.1^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)$

$\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d,d'$ thì góc $2\alpha$ là góc ở đỉnh của mặt nón.

Ta có: ${l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}}  = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5$

Do đó ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.\sqrt 5  + \pi {.1^2} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\pi$

Quan sát hình vẽ ta thấy đường sinh là $AB$ và đường cao $AO$.

Công thức tính thể tích khối nón: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$

Ta có: ${l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}$

Do đó $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} - {r^2}}$

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.3 = 4\pi c{m^3}$ 

Gọi $O$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

- Quay tam giác vuông $ABO$ quanh $BO$ ta được một hình nón.

- Quay tam giác vuông $DCO$ quanh $CO$ ta được một hình nón.

Vậy có tất cả hai hình nón được tạo thành.

Ta có: ${l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h = \dfrac{1}{3}{S_d}.\sqrt {{l^2} - {r^2}}$

Hình nón thu được có đường sinh $l = AB = a$; bán kính đáy

$r = OB = AB.\sin 30^\circ  = \dfrac{a}{2}$ và diện tích xung quanh là

${S_{xq}} = \pi rl = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2}$

$r = \sqrt {\dfrac{{9\pi }}{\pi }}  = 3 \Rightarrow l = 2r = 6;h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = 3\sqrt 3$

Độ dài đường cao của hình nón cũng chính là chiều cao của tam giác đều $\Rightarrow h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}$

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là $\Delta ABC$ cân tại $A$ với $A$ là đỉnh nón, $BC$ là đường kính đáy của nón.

Gọi $H$ là tâm đáy nón $\Rightarrow H$ là trung điểm $BC,AH \bot BC$

Ta có $HB = HC = 1,AH = 2$ . Ta có

$\begin{array}{l}2\varphi  = \angle BAC \Rightarrow \varphi  = \angle HAC\\AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt 5 \\\cos \varphi  = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\end{array}$

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là $\Delta ABC$ với $A$ là đỉnh nón, $BC$ là đường kính đáy nón.

Gọi $H$ là tâm đường tròn đáy của hình nón, ${O_1},{O_2}$ lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, ${D_1},{D_2}$ lần lượt là tiếp điểm của $AC$ với $\left( {{O_1}} \right)$ và $\left( {{O_2}} \right)$.

Vì ${O_1}{D_1}//{O_2}{D_2}$ (cùng vuông góc với $AC$) nên theo hệ thức Ta – let ta có:

$\Rightarrow \dfrac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \dfrac{{{O_2}{D_2}}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow {O_2}$ là trung điểm của $A{O_1}$$\Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2\left( {a + 2a} \right) = 6a$

$\Rightarrow AH = A{O_1} + {O_1}H = 6a + 2a = 8a$

Xét tam giác vuông $A{O_1}{D_1}$ có: $A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2}  = \sqrt {36{a^2} - 4{a^2}}  = 4\sqrt 2 a$

Dễ thấy:

$\Delta A{O_1}{D_1} \backsim \Delta ACH\,\,\left( {g.g} \right)$$\Rightarrow \dfrac{{HC}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{{AH}}{{A{D_1}}}$$\Rightarrow HC = \dfrac{{{O_1}{D_1}.AH}}{{A{D_1}}} = \dfrac{{2a.8a}}{{4\sqrt 2 a}} = 2\sqrt 2 a = r$