Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ

- Trục của đường tròn: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Ta có: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.5 = 20\pi c{m^2}\)

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ là: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\).

Ta có: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = {C_d}.\left( {h + r} \right)\)

Dó đó công thức ở đáp án D là sai.

Ta có: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.3 + 2\pi {.5^2} \approx 251,3c{m^2}\)

Công thức tính thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h\)

Ta có: \(V = \pi {r^2}h = \pi {.4^2}.5 = 80\pi c{m^3}\)

Có ${V_1} = \pi B{C^2}.AB;{V_2} = \pi .A{B^2}.BC \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{4}{3}$

Hình trụ đó có chiều cao $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$ và diện tích toàn phần

${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$

Dấu “=” xảy ra ⇔$2\pi {R^2} = \dfrac{V}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$

Cách 1: Chu vi đáy là $240cm \Rightarrow 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \dfrac{{120}}{\pi } $

$\Rightarrow {V_1} = \pi R_1^2h = \pi {\left( {\dfrac{{120}}{\pi }} \right)^2}h = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }$

Cách 2: Chu vi đáy mỗi hình trụ nhỏ là:

\(240:2 = 120cm \Rightarrow 2\pi R = 120 \Rightarrow R = \dfrac{{60}}{\pi } \)

$\Rightarrow V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{{60}}{\pi }} \right)^2}.50 = \dfrac{{{{60}^2}.50}}{\pi } \Rightarrow {V_2} = 2V = \dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi }$

Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }:\dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi } = 2\)

Một đường tròn có bán kính $r$ thì có chu vi và diện tích lần lượt là $C = 2\pi r;S = \pi {r^2} \Rightarrow S = \dfrac{{{C^2}}}{{4\pi }}$

Gọi chiều dài tấm tôn là $a$ thì tổng diện tích đáy của thùng theo 2 cách lần lượt là

${S_1} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\pi }};{S_2} = 2.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}{{4\pi }} = \dfrac{{{a^2}}}{{8\pi }} \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2$

Khi quay đường thẳng \(d\) quanh một đường thẳng \(\Delta //d\) thì ta được mặt trụ có trục \(\Delta \) và đường sinh \(d\).

Hình trụ có bán kính đáy $r = 1$, chiều cao $h = 1$ nên có ${S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 4\pi $.

- Quay hình chữ nhật quanh một cạnh thì ta được hình trụ nên loại đáp án C và B vì có các đường chéo.

- Do \(AB \ne AD\) nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao khác nhau.

- Do \(AD = BC\) nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao bằng nhau.

Thể tích gáo \({V_1} = \pi {R^2}.h = \pi .0,{04^2}.0,05 = 8\pi {.10^{ - 5}}({m^3})\)

Số nước múc ra trong một ngày \({V_2} = 170{V_1} = 170.8.\pi {.10^{ - 5}} = 0,0136\pi \left( {{m^3}} \right)\)

Số ngày dùng hết nước là \(\dfrac{{2.3.2}}{{{V_2}}} = \dfrac{{12}}{{0,0136\pi }} \approx 281\)(ngày)

Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AD\) thì được hình trụ có chiều cao \(AD\), đường sinh \(BC\) và bán kính đáy \(AB,CD\).

Do đó \(CD\) được gọi là bán kính đáy.

\(V = Sh = \pi {R^2}.h \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{V}{{\pi h}}}  = \sqrt {\dfrac{{0,{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi .0,15}}}  = 0,0326(m) = 3,26(cm)\)

Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường trung bình \(AB\) ta sẽ được hình trụ có đường cao \(AB\), đường sinh \(MQ,NP\) và bán kính đáy \(MA,NA,BP,BQ\), đường kính đáy \(MN,PQ\).

Do đó đường kính đáy của hình trụ là \(MN\).

- Với cột bê tông hình lăng trụ:

Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng $6$ tam giác đều cạnh $14cm$, mỗi tam giác có diện tích là $\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)$

- Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ:

Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính $15cm$ nên có diện tích là ${15^2}\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả $17$ cột, mỗi cột cao $390cm$ là:

$17.390\left( {{{15}^2}\pi  - 6.\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = 1,{31.10^6}{\rm{ }}c{m^3} = 1,31{\rm{ }}{m^3}$

Khi cắt mặt trụ bởi mặt phẳng vuông góc với đáy ta được đường tròn có bán kính bằng bán kính mặt trụ.