Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ

- Trục của đường tròn: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi rh$.

Ta có: ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.5 = 20\pi c{m^2}$

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ là: ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$.

Ta có: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = {C_d}.\left( {h + r} \right)$

Dó đó công thức ở đáp án D là sai.

Ta có: ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.3 + 2\pi {.5^2} \approx 251,3c{m^2}$

Công thức tính thể tích khối trụ là $V = \pi {r^2}h$

Ta có: $V = \pi {r^2}h = \pi {.4^2}.5 = 80\pi c{m^3}$

Có ${V_1} = \pi B{C^2}.AB;{V_2} = \pi .A{B^2}.BC \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{4}{3}$

Hình trụ đó có chiều cao $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$ và diện tích toàn phần

${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$

Dấu “=” xảy ra ⇔$2\pi {R^2} = \dfrac{V}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$

Cách 1: Chu vi đáy là $240cm \Rightarrow 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \dfrac{{120}}{\pi }$

$\Rightarrow {V_1} = \pi R_1^2h = \pi {\left( {\dfrac{{120}}{\pi }} \right)^2}h = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }$

Cách 2: Chu vi đáy mỗi hình trụ nhỏ là:

$240:2 = 120cm \Rightarrow 2\pi R = 120 \Rightarrow R = \dfrac{{60}}{\pi }$

$\Rightarrow V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{{60}}{\pi }} \right)^2}.50 = \dfrac{{{{60}^2}.50}}{\pi } \Rightarrow {V_2} = 2V = \dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi }$

Vậy $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }:\dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi } = 2$

Một đường tròn có bán kính $r$ thì có chu vi và diện tích lần lượt là $C = 2\pi r;S = \pi {r^2} \Rightarrow S = \dfrac{{{C^2}}}{{4\pi }}$

Gọi chiều dài tấm tôn là $a$ thì tổng diện tích đáy của thùng theo 2 cách lần lượt là

${S_1} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\pi }};{S_2} = 2.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}{{4\pi }} = \dfrac{{{a^2}}}{{8\pi }} \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2$

Khi quay đường thẳng $d$ quanh một đường thẳng $\Delta //d$ thì ta được mặt trụ có trục $\Delta$ và đường sinh $d$.

Hình trụ có bán kính đáy $r = 1$, chiều cao $h = 1$ nên có ${S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 4\pi$.

- Quay hình chữ nhật quanh một cạnh thì ta được hình trụ nên loại đáp án C và B vì có các đường chéo.

- Do $AB \ne AD$ nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao khác nhau.

- Do $AD = BC$ nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao bằng nhau.

Thể tích gáo ${V_1} = \pi {R^2}.h = \pi .0,{04^2}.0,05 = 8\pi {.10^{ - 5}}({m^3})$

Số nước múc ra trong một ngày ${V_2} = 170{V_1} = 170.8.\pi {.10^{ - 5}} = 0,0136\pi \left( {{m^3}} \right)$

Số ngày dùng hết nước là $\dfrac{{2.3.2}}{{{V_2}}} = \dfrac{{12}}{{0,0136\pi }} \approx 281$(ngày)

Quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AD$ thì được hình trụ có chiều cao $AD$, đường sinh $BC$ và bán kính đáy $AB,CD$.

Do đó $CD$ được gọi là bán kính đáy.

$V = Sh = \pi {R^2}.h \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{V}{{\pi h}}}  = \sqrt {\dfrac{{0,{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi .0,15}}}  = 0,0326(m) = 3,26(cm)$

Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật $MNPQ$ quanh đường trung bình $AB$ ta sẽ được hình trụ có đường cao $AB$, đường sinh $MQ,NP$ và bán kính đáy $MA,NA,BP,BQ$, đường kính đáy $MN,PQ$.

Do đó đường kính đáy của hình trụ là $MN$.

- Với cột bê tông hình lăng trụ:

Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng $6$ tam giác đều cạnh $14cm$, mỗi tam giác có diện tích là $\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)$

- Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ:

Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính $15cm$ nên có diện tích là ${15^2}\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả $17$ cột, mỗi cột cao $390cm$ là:

$17.390\left( {{{15}^2}\pi  - 6.\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = 1,{31.10^6}{\rm{ }}c{m^3} = 1,31{\rm{ }}{m^3}$

Khi cắt mặt trụ bởi mặt phẳng vuông góc với đáy ta được đường tròn có bán kính bằng bán kính mặt trụ.