Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - bài toán đếm
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)
Số các hoán vị của \(10\) phần tử là:
Số các hoán vị khác nhau của \(10\) phần tử là \({P_{10}} = 10!\).
Có bao nhiêu số có \(5\) chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5\)?
Gọi số thỏa mãn bài toán là: \(\overline {abcde} \).
Mỗi số có \(5\) chữ số thỏa mãn bài toán là một hoán vị của \(5\) chữ số trên.
Số các số là \(5! = 120\) (số).
Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$
Số chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) phần tử là:
Số chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) phần tử là \(A_9^5\).
Số các số có \(4\) chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số \(2,4,6,7,8,9\) là:
Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) phần tử.
Số các số là: \(A_6^4 = 360\) số.
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(C_n^k\).
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là \(C_7^6 = 7\).
Một lớp có \(40\) học sinh. Số cách chọn ra \(5\) bạn để làm trực nhật là:
Mỗi cách chọn ra \(5\) bạn là một tổ hợp chập \(5\) của \(40\).
Do đó số cách chọn là \(C_{40}^5\).
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là:
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.
Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.
Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có \(A_5^4 = 120\) số.
Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn $1000$ được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số.
TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)\) suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ .
Vậy có $4.4.3 = 48$ số.
TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$?
Có $4.4 = 16$ số.
TH3: Số có $1$ chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$?
Có $5$ số.
Vậy có có tất cả $69$ số.
Một nhóm $4$ đường thẳng song song cắt một nhóm $5$ đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?
Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành hình bình hành.
Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và $2$ đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.
Bước 2: Tìm số hình bình hành.
Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $4$ đường thẳng song song có \(C_4^2 = 6\) cách.
Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $5$ đường thẳng song song có \(C_5^2 = 10\) cách.
Vậy có tất cả $6.10 = 60$ hình bình hành được tạo thành.
Từ $5$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng trắng và $4$ bông hoa hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm $7$ bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất $3$ bông hoa hồng vàng và ít nhất $3$ bông hoa hồng đỏ?
TH1: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng và $4$ bông hoa hồng đỏ.
Số cách chọn $3$ bông hồng vàng là \(C_5^3 = 10\) cách.
Số cách chọn $4$ bông hồng đỏ là \(C_4^4 = 1\) cách.
Theo quy tắc nhân thì có $10.1 = 10$ cách.
TH2: Chọn được $4$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \(C_5^4.C_4^3 = 20\) cách.
TH3: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng đỏ và $1$ bông hoa hồng trắng.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \(C_5^3.C_4^3.C_3^1 = 120\) cách.
Vậy theo quy tắc cộng ta có $10 + 20 + 120 = 150$ cách.
Một lớp có $8$ học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:
Số cách chọn ra $3$ người để bầu cho $3$ vị trí khác nhau là \(A_8^3 = 336\) (cách).
Cho tập $A = \left\{ {2;5} \right\}$. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số, các chữ số lấy từ tập $A$ sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?
TH1: Có $10$ chữ số $5$: Chỉ có duy nhất $1$ số.
TH2: Có $9$ chữ số $5$ và $1$ chữ số $2$ .
Xếp $9$ chữ số $5$ thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.
TH3: Có $8$ chữ số $5$ và $2$ chữ số$2$.
Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào $9$ vách ngăn đó, có \(C_9^2 = 36\) cách. Vậy trường hợp này có 36 số.
TH4: Có $7$ chữ số $5$ và $3$ chữ số $2$ .
Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có \(C_8^3 = 56\) cách. Vậy trường hợp này có 56 số.
TH5: Có $6$ chữ số $5$ và $4$ chữ số $2$ .
Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có \(C_7^4 = 35\) cách. Vậy trường hợp này có 35 số.
TH6: Có $5$ chữ số $5$ và $5$ chữ số $2$.
Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có \(C_6^5 = 6\) cách. Vậy trường hợp này có 6 số.
Theo quy tắc cộng ta có tất cả: $1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144$ số.
Trong một tổ học sinh có $5$ em gái và $10$ em trai. Thùy là $1$ trong $5$ em gái và Thiện là $1$ trong $10$ em trai. Thầy chủ nhiệm chọn ra $1$ nhóm $5$ bạn tham gia buổi văn nghệ tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn?
Bài toán đối: tìm số cách chọn ra $5$ bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.
Bước 1: Chọn nhóm $3$ em trong $13$ em ($13$ em này không tính em Thùy và Thiện) có \(C_{13}^3 = 286\) cách.
Bước 2: Chọn $2$ em Thùy và Thiện có 1 cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì ta có $286$ cách chọn $5$ em mà trong đó có cả $2$ em Thùy và Thiện.
Chọn $5$ em bất kì trong số $15$ em thì ta có: \(C_{15}^5 = 3003\) cách.
Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả $3003-286 = 2717$ cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là:
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn \(3\) trong \(10\) đỉnh của đa giác, có \(C_{10}^3 = 120\).
Vậy có \(120\) tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác \(10\) cạnh.
Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có $21$ đoàn viên nam và $15$ đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia $3$ nhóm về $3$ ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có $7$ đoàn viên nam và $5$ đoàn viên nữ?
Bước 1: Chọn $7$ nam trong $21$ nam và $5$ nữ trong $15$ nữ cho ấp thứ nhất.
Số cách chọn là \(C_{21}^7.C_{15}^5\) cách.
Bước 2: Chọn $7$ nam trong $14$ nam và $5$ nữ trong $10$ nữ cho ấp thứ hai
Số cách chọn là \(C_{14}^7.C_{10}^5\) cách.
Bước 3: Chọn $7$ nam trong $7$ nam và $5$ nữ trong $5$ nữ cho ấp thứ ba.
Số cách chọn là \(C_7^7.C_5^5 = 1\) cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: \(C_{21}^7.C_{15}^5.C_{14}^7.C_{10}^5\) cách.
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
Gọi \({A_k}\) là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: \({A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}\)
Ta tính xem \({A_k}\) có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án \({A_k}\) có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có \(C_k^1 = k\) cách.
Theo quy tắc nhân thì phương án \({A_k}\) có \(kC_n^k\) cách thực hiện.
Các phương án \({A_k}\) là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
