Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty$ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có TCN là $y =  - \dfrac{1}{3}$.

Đường thẳng $y = {y_0}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $\left[ \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận $x=-2;y=1$ nên giao $2$ đường tiệm cận là $I(-2;1)$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } {\mkern 1mu} \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow y = \dfrac{a}{2}$ là tiệm cận ngang của ĐTHS

$\Rightarrow \dfrac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4.$

Và $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt}  - {\kern 1pt} \dfrac{c}{2}} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt}  - {\kern 1pt} \dfrac{c}{2}} {\mkern 1mu} \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}} = \infty  \Rightarrow x =  - \dfrac{c}{2}$ là tiệm cận đứng của ĐTHS

$\Rightarrow  - \dfrac{c}{2} = 1 \Rightarrow c =  - {\mkern 1mu} 2.$

Vậy tổng $a + c = 4 - 2 = 2.$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Và $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} 2} \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có $2$ đường tiệm cận.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty$ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án A: Đồ thị hàm số chỉ có $1$ đường tiệm cận $y = 0$.

Đáp án B: Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}$ có 1 TCN là $y = 0$ và 2 TCĐ là $x =  \pm 3$ nên có $3$ tiệm cận.

Đáp án C: Đồ thị hàm số có $2$ tiệm cận là $y = 1,x = 1$.

Đáp án D: 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  \dfrac{{x + 1}}{|x|{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  \dfrac{{x + 1}}{-x{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }}=-1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  +\infty }  \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} = 1$

Đồ thị hàm số chỉ có $2$ tiệm cận là $y =  \pm 1$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\mkern 1mu} y =  + \infty .$

Lại có

$\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x - 1 + \sqrt {4{x^2} - 4} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} - 4}  + 2x - 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)}}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {4{x^2} - 4} \right) - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4x - 5}}{{\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - x\left( { - 4 + \dfrac{5}{x}} \right)}}{{ - x\left[ {\sqrt {4 - \dfrac{4}{{{x^2}}}}  + \left( {2 - \dfrac{1}{x}} \right)} \right]}}\\ = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt 4  + 2}} =  - 1.}\end{array}$

Vậy $y =  - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Dễ dàng tính được $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \dfrac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \dfrac{1}{2}$ do đó $y =  \pm \dfrac{1}{2}$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 1$

$\Rightarrow y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{x}{{ - x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - 1$

$\Rightarrow y =  - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = - \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = + \infty$

Ngoài ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \ne \infty$ nên x=4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số chỉ có $1$ tiệm cận đứng $x =  - 4$

Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm $x = 1$ và $x =  - 2$ và hai nghiệm này đều không phải nghiệm của tử thức.

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số đã cho có $2$ tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận là

- Tiệm cận đứng $x = 2$

- Tiệm cận ngang $y =  - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{3x}}{{1 + 2x}} = \dfrac{3}{2}$

Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x}}{{1 + 2x}}$  là đường thẳng $y = \dfrac{3}{2}.$ 

Đáp án A có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 3;2} \right) \notin d$

Đáp án B có giao hai đường tiệm cận là $\left( {1;1} \right) \in d$ 

Đáp án C có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 2;2} \right) \notin d$

Đáp án D có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 3;0} \right) \notin d$

Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 1}}{{x + 1}} = x - 4 + \dfrac{3}{{x + 1}}$.

Do đó đường thẳng $y = x - 4$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Tập xác định :$D = \mathbb{R}$ .

$\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}}  + \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{2 + 2}} = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}}  - \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{ - 2 - 2}} =  - 1}\end{array}$

Vậy, đồ thị hàm số $y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1}$ có $2$ tiệm cận ngang là $y = 1, y =  - 1$ .

$y=\dfrac{2mx+m}{x-1}\left| \begin{align}& \xrightarrow{TCD}x=1 \\  & \xrightarrow{TCN}y=2m \\ \end{align}\right.$ 

$S = 8 \Leftrightarrow \left| {2m} \right|.\left| 1 \right| = 8 \Leftrightarrow \left| {2m} \right| = 8 \Leftrightarrow 2m =  \pm 8 \Leftrightarrow m =  \pm 4$

$y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{m}{{{x^2}}}}} = 0$ 

Suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận $\Leftrightarrow$ Đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng 

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  \Delta ' > 0 \hfill \\  {2^2} - 2.2 + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  1 - m > 0 \hfill \\  m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  m < 1 \hfill \\  m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$