Khảo sát hàm đa thức bậc ba

Hàm đa thức bậc ba xác định trên $R$.

$y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Rightarrow $ có $2$ cực trị.

$y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $ \Rightarrow $ không có cực trị.

Do đó hàm đa thức bậc ba chỉ có thể có $2$ cực trị hoặc không có cực trị nào.

Hàm đa thức bậc ba không có cực trị và nghịch biến thì đạo hàm $y'$ mang dấu âm với mọi $x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy $y' < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_2}; + \infty } \right)$.

Phương trình $y'' = 0$ luôn có nghiệm duy nhất nên đồ thị hàm số bậc ba luôn có 1 điểm uốn hay 1 tâm đối xứng duy nhất.

Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty $ nên $a > 0$.

- Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục tung tại $1$ điểm duy nhất $\left( {0;d} \right)$ nên B đúng.

- Đồ thị hàm số bậc ba có thể cắt trục hoành tại $1,2$ hoặc $3$ điểm nên các đáp án A, C, D đều chưa chính xác.

- Hàm số bậc ba không có cực trị thì nó đơn điệu tăng hoặc giảm trên $R$ nên đồ thị luôn cắt trục hoành tại $1$ điểm duy nhất nên A đúng, D sai.

- Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị có thể cắt trục hoành tại $1,2$ hoặc $3$ điểm nên B, C sai.

Hàm số bậc ba luôn có ${y_{CD}} > {y_{CT}}$ nên nếu ${y_{CD}} = 0$ thì ${y_{CT}} < 0$.

Do đó điểm cực tiểu của đồ thị hàm số luôn nằm dưới trục hoành.

Từ các dạng đồ thị trên ta thấy hai đồ thị đều có 2 điểm chung với trục hoành.

Hàm số có $2$ cực trị thì có bảng biến thiên ở các dạng sau:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

Nếu ${y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$ thì ${y_{CT}} < 0 < {y_{CD}}$ nên đường thẳng $y = 0$ cắt đồ thị hàm số tại $3$ điểm phân biệt.

Hàm số có $2$ cực trị thì có bảng biến thiên ở các dạng sau:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

Nếu ${y_{CD}}.{y_{CT}} > 0$ thì ${y_{CD}} > 0;{y_{CT}} > 0$ hoặc ${y_{CD}} < 0;{y_{CT}} < 0$, do đó đường thẳng $y = 0$ chỉ cắt đồ thị hàm số tại duy nhất $1$ điểm.

Đáp án A: Hàm số bậc ba có $2$ cực trị thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt nếu ${y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$ hoặc chỉ cắt $Ox$ tại 1 điểm nếu ${y_{CD}}.{y_{CT}} > 0$ nên A sai.

Đáp án B: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất $1$ điểm nhưng chưa chắc đó là điểm uốn nên B sai.

Đáp án C: Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt thì hàm số có hai điểm cực trị là đúng.

Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại $1$ điểm duy nhất thì nó không có cực trị hoặc có cực trị nhưng hai giá trị cực trị cùng dấu nên D sai.

Dựa vào dáng điệu của đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc ba

=> Là đồ thị của \(y = {x^3} - 3x - 1\)

Ta có \({1^3} - 3.1 + 3 = 1\) nên điểm \(M(1;1)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số có dáng điệu là hàm bậc ba và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \)

=> Hệ số a<0

=> Hàm số cần tìm là \(y =  - {x^3} + 3x\)