Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do $x\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ nên $k=-1$ hay $x=-\dfrac{\pi }{2}$

Suy ra $y\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 1;\;\;y\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{\mathop {\max}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]}y =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y =  - 1}\end{array}} \right.$

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$$M =  - 2$. Chọn khẳng định đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Nếu $M =  - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant  - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

GTNN của $f\left( x \right)$ trên $\left[ {0;2} \right]$ bằng $5$ nên $f\left( x \right) \geqslant 5,\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \geqslant 5$.

Câu 4 Trắc nghiệm

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2x + \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ là :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có $y' = 2 - \sin x > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$

$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1$.

Câu 5 Trắc nghiệm

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $R$, có $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty $ , khi đó:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Hàm số $y = f\left( x \right)$$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }f(x)  =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty $ thì không có GTLN, GTNN trên $R$ vì không tồn tại số $M,m$ để $f\left( x \right) \leqslant M,f\left( x \right) \geqslant m,\forall x \in R$.

Câu 6 Trắc nghiệm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có:

+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 3$ nên A sai.

+) $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) =  - 7$ nên B đúng.

+) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty $ nên không tồn tại $\mathop {\min}\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right)$ nên C sai.

+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 3$ nên D sai.

Câu 7 Trắc nghiệm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)$.

C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $ - 1$ đạt được tại $x = 2$.

Câu 8 Trắc nghiệm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $y = 3$ là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.

Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 0$ nên B đúng và C sai.

Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty $.

Câu 9 Trắc nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

$f\left( 2 \right) =  - 7,f\left( 3 \right) =  - 10,f\left( 4 \right) =  - 5$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$$M =  - 5$

Câu 10 Trắc nghiệm

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( {\text{x}} \right) = \dfrac{{6 - 8{\text{x}}}}{{{x^2} + 1}}$ trên tập xác định của nó là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

TXĐ: $D=R$

Ta có: $f'\left( x \right) = \dfrac{{8{{\text{x}}^2} - 12{\text{x}} - 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x =  - \dfrac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 0$

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $y = 8$ tại $x =  - \dfrac{1}{2}$

Câu 11 Trắc nghiệm

Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = {x^4} + 2{x^2} - 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó giá trị của $M.m$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

TXĐ: $D=R$

Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} + 4{\text{x}}$$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]$

$f( - 1) = 2,{\text{ f(0)  =  }} - 1,{\text{ f(2)  =  23}}$

Ta thấy GTLN và GTNN lần lượt  là $M = 23,m =  - 1 \Rightarrow M.m = 23.\left( { - 1} \right) =  - 23$

Câu 12 Trắc nghiệm

Cho hàm số $y = x + \dfrac{1}{x}.$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

TXĐ: \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

$y' = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x=1 (tm) $ hoặc $x=-1 (ktm)$ 

Bảng biến thiên:

$ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} \,y = f\left( 1 \right) = 2$ 

Câu 13 Tự luận

Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng \(16 cm^3.\) Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu \(cm^2\)? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)

Đáp án 

$cm^3$

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án 

$cm^3$

Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\). Gọi \(O = AC \cap BD\), đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), tính \(SO\) theo \(x\).

Giả sử chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\). Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có \({S_{ABCD}} = {x^2}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{x^2} = 16 \Leftrightarrow SO = \dfrac{{48}}{{{x^2}}}\).

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính \(SM\) theo \(x\), từ đó tính \({S_{\Delta SCD}}\) theo \(x\).

Gọi M là trung điểm của CD ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

Ta có \(OM = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{x}{2}\), áp dụng định lí Pytago ta có: \(SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{48}}{{{x^2}}}} \right)}^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SCD}} = \dfrac{1}{2}SM.CD = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{48}}{{{x^2}}}} \right)}^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} .x = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4}} \)

Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng

Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì \({S_{\Delta SCD}}\) nhỏ nhất \( \Rightarrow \dfrac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(\dfrac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4} = \dfrac{{1152}}{{{x^2}}} + \dfrac{{1152}}{{{x^2}}} + \dfrac{{{x^4}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{1152}}{{{x^2}}}.\dfrac{{1152}}{{{x^2}}} . \dfrac{{{x^4}}}{4}}} \)\(\ge 3.\sqrt[3]{331776}\) (BĐT Cô-si).

Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là \(4.3.\sqrt[3]{331776}\approx 831\,c{m^3}\).

Câu 14 Tự luận

Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích \(V = 6{m^3}\) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp và các mặt xung quanh đều được đổ bê tông cốt thép. Phần nắp bể để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \(\dfrac{2}{9}\) diện tích nắp bể. Biết rằng chi phí cho \(1{m^2}\) bê tông cốt thép là \(1.000.000d\). Tính chi phí thấp nhất mà cô Ngọc phải trả khi xây bể (làm tròn đến hàng trăm nghìn và các chữ số viết liền)?

Đáp án 

VNĐ

Câu hỏi tự luận
Bạn chưa làm câu này

Đáp án 

VNĐ

Bước 1: Gọi \(x\left( m \right),\,\,3x\left( m \right)\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể. Tính chiều cao của bể.

Gọi \(x\left( m \right),\,\,3x\left( m \right)\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể, \(h\) là chiều cao của bể.

Theo bài ra ta có: \(V = x.3x.h = 6 \Rightarrow h = \dfrac{6}{{3{x^2}}} = \dfrac{2}{{{x^2}}}\,\,\left( m \right)\).

Bước 2: Tính tổng diện tích các mặt làm bê tông.

Khi đó tổng diện tích các mặt bể được làm bê tông là:

\(2x.\dfrac{2}{{{x^2}}} + 2.3x.\dfrac{2}{{{x^2}}} + 2x.3x - x.3x.\dfrac{2}{9} = \dfrac{{16{x^2}}}{3} + \dfrac{{16}}{x}\)

Bước 3: Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương để tính số tiền ít nhất cần tìm

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\dfrac{{16{x^2}}}{3} + \dfrac{{16}}{x} = \dfrac{{16{x^2}}}{3} + \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{16{x^2}}}{3}.\dfrac{8}{x}.\dfrac{8}{x}}} = 8\sqrt[3]{{18}}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{{16{x^2}}}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\dfrac{3}{2}}}\).

Vậy số tiền ít nhất mà cô Ngọc cần bỏ ra là \(8\sqrt [3]{18} {.10^6} \approx 21.000.000d\).

Câu 15 Trắc nghiệm

Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$y' = 3{x^2} - 6mx.$

Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \Rightarrow y = 6 \hfill \\x = 2m \Rightarrow y =  -  4{m^3} + 6 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

 

$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=0 \Rightarrow y=6 \\ x=2 m \Rightarrow y=-4 m^{3}+6\end{array}\right.$

Xét TH1: $m = 0$. Hàm số đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$ $ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow $ loại.

Xét TH2: $m \geqslant \dfrac{3}{2} \Rightarrow 2m \ge 3 > 0$. Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[ {0;3} \right] \subset \left[ {0;2m} \right]$

$ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Rightarrow m = \dfrac{{31}}{{27}} < \dfrac{3}{2}$(loại)

Xét TH3: $\dfrac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2m > 0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left( {0;6} \right)$ và điểm cực tiểu là $\left( {2m, -  4{m^3} + 6} \right).$

Khi đó , GTNN trên $\left[ {0;3} \right]$ là $y\left( {2m} \right) =  - 4{m^3} + 6$ $ \Rightarrow  - 4{m^3} + 6 = 2 \Leftrightarrow {m^3} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)

Xét TH4: $m < 0 \Rightarrow \left( {0;6} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[ {0;3} \right]$ hàm số đồng biến.

$ \Rightarrow {y_{min}} = 6 \Rightarrow $ loại.

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 16 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 5\\M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) =  - 1\end{array} \right.\).

Câu 17 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Gọi \(a,\,\,A\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( {x + 1} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,\,0} \right].\) Giá trị \(a + A\) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Đặt \(x + 1 = t.\) Khi đó: \(x \in \left[ { - 1;\,\,0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = 0\,\,\,khi\,\,\,t = 0 \Rightarrow x =  - 1.\\A = \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = 3\,\,\,\,khi\,\,\,t = 1 \Rightarrow x = 0.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a + A = 0 + 3 = 3.\)

Câu 18 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\) đúng với mọi x thuộc đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\)

\(\Leftrightarrow  - 2m < f\left( x \right) + m < 2m\)

\(\Leftrightarrow  - 3m < f\left( x \right) < m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\\\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right) < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m <  - 2\\3 < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{3}\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( {3;10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19 Trắc nghiệm

Một sợi dây kim loại dài \(a\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\) Tìm \(x\) để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Do \(x\) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \(\left( {0 < x < a} \right)\). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(a - x\).

Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x\)\( \Rightarrow r = \dfrac{x}{{2\pi }}\).

Do đó diện tích hình tròn là: \({S_1} = \pi .{r^2}\)\( = \dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{4\pi }}\).

Chu vi hình vuông là \(a - x \Rightarrow \) Cạnh hình vuông là \(\dfrac{{a - x}}{4}\). Do đó diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).

Tổng diện tích hai hình:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{4{x^2} + \pi {{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{16\pi }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\end{array}\)

Xét hàm số \(S\left( x \right) = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\) ta có:\(S'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {4 + \pi } \right).x - 2a\pi }}{{16\pi }} = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).x - a\pi }}{{8\pi }}\).

Cho\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4 + \pi } \right)x - a\pi  = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\). Ta có BBT như sau :

Suy ra hàm \(S\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).

Do đó \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).

Câu 20 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\). Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x\,\,\,\left( 1 \right)\).

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right);\,\,y = x.\)

Vẽ đường thẳng \(y = x\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số \(y = f'\left( x \right);\,\,y = x\) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là \( - 2;2;4.\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) là \(g\left( 2 \right)\).