Giới hạn của dãy số

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ mà ${u_n} = \dfrac{2}{n}$ có giới hạn $0$.

$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - 4}}{5} = \dfrac{{ - 4}}{5} =  - \dfrac{4}{5}.$

Ta có: $\lim \dfrac{{3{u_n} - 1}}{{{u_n} + 1}} = \dfrac{{3\lim {u_n} - 1}}{{\lim {u_n} + 1}}$ $= \dfrac{{3.3 - 1}}{{3 + 1}} = \dfrac{8}{4} = 2$

$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{3}{n}}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 4}} = \dfrac{1}{{ - 4}} =  - \dfrac{1}{4}.$

Các dãy số có giới hạn $0$ là: ${u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt n }},{u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}},{u_n} = 0$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ ở đáp án C có $\lim {u_n} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{n}}}{2} =  + \infty$

$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4}} = \dfrac{0}{{ - 4}} = 0.$

Định lý: Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$. Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi $n$ và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{3^n} + {5^n}}}{{{5^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 1}}{1} = \dfrac{1}{1} = 1.$

Định lý: Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0$.

$\begin{array}{l}\lim \dfrac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}} = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{n} - \dfrac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \dfrac{4}{{{n^3}}}}} = \dfrac{0}{{ - 2}} = 0.\\\lim \dfrac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{ - 2 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{2}{{ - 2}} =  - 1.\\\lim \dfrac{{2{n^2} - 3}}{{2{n^2} + 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{2 + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{2}{2} = 1.\\\lim \dfrac{{2{n^3} - 3}}{{2{n^2} - 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{3}{{{n^3}}}}}{{\dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}}} =  + \infty .\end{array}$

Định nghĩa: Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực $L$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0$.

Ta có: ${n^3} - 2n + 1 = {n^3}\left( {1 - \dfrac{2}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)$.

Vì $\lim {n^3} =  + \infty$ và $\lim \left( {1 - \dfrac{2}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1 > 0$ nên $\lim \left( {{n^3} - 2n + 1} \right) =  + \infty$

Giả sử $\lim {u_n} = L$. Khi đó $\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|$.

Bước 1:

$\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$ $= \lim \dfrac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$

$= \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$

Bước 2:

$=\dfrac{2.0-3+5.0}{3.0+9}= \dfrac{{ - 3}}{9} =  - \dfrac{1}{3}.$

Định lý 1: Giả sử $\lim {u_n} = L$. Khi đó:

i) $\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|$ và $\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}$.

ii) Nếu ${u_n} \ge 0$ với mọi $n$ thì $L \ge 0$ và $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L$

Từ định lý trên ta thấy chỉ có đáp án D đúng.

$\lim \dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}{{(n + 1)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$ $= \lim \dfrac{{\dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}}}{{{n^3}}}.\dfrac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{{2 - 25{n^5}}}{{{n^5}}}}}$ $= \dfrac{{{{\left( {\frac{{2 - 5n}}{n}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{n^5}}} - 25}}$ $= \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 5} \right)}^3}.{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\dfrac{2}{{{n^5}}} - 25}}$ $= \dfrac{{{{\left( {0 - 5} \right)}^3}{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}{{0 - 25}}$ $= \dfrac{{{{( - 5)}^3}{{.1}^2}}}{{ - 25}} = 5$.

Giả sử $\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M$. Khi đó $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M$

Cách 1:

$\begin{array}{l}\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} \\= \lim \frac{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  - \sqrt {9{n^2} + 3} } ).( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  + \sqrt {9{n^2} + 3} })}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  + \sqrt {9{n^2} + 3} }).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{({n^2} - 3n - 5) - (9{n^2} + 3)}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  + \sqrt {9{n^2} + 3} } ).(2n - 1)}} \\= \lim \frac{{ - 8{n^2} - 3n - 8}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  + \sqrt {9{n^2} + 3} } ).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{ - 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}}{{( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}}  + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} })( {2 - \frac{1}{n}} )}} = \frac{{ - 8}}{{4.2}} =  - 1.\end{array}$

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho $n.$

$\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5}  - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}}  - \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \lim \frac{{1 - 3}}{2} =  - 1$

Giả sử $\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M$ và $c$ là một hằng số. Khi đó:

$\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M,\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M,\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L$

$\lim \dfrac{{2{n^2} - n + 4}}{{\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {2 - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .$