Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) mà \({u_n} = \dfrac{2}{n}\) có giới hạn \(0\).
Cho ${u_n} = \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - 4}}{5} = \dfrac{{ - 4}}{5} = - \dfrac{4}{5}.$
Biết \(\lim {u_n} = 3\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Ta có: \(\lim \dfrac{{3{u_n} - 1}}{{{u_n} + 1}} = \dfrac{{3\lim {u_n} - 1}}{{\lim {u_n} + 1}}\) \( = \dfrac{{3.3 - 1}}{{3 + 1}} = \dfrac{8}{4} = 2\)
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{3}{n}}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 4}} = \dfrac{1}{{ - 4}} = - \dfrac{1}{4}.$
Dãy số nào dưới đây không có giới hạn \(0\)?
Các dãy số có giới hạn \(0\) là: \({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt n }},{u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}},{u_n} = 0\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ở đáp án C có \(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{n}}}{2} = + \infty \)
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4}} = \dfrac{0}{{ - 4}} = 0.$
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì:
Định lý: Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Cho ${u_n} = \dfrac{{{3^n} + {5^n}}}{{{5^n}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{3^n} + {5^n}}}{{{5^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 1}}{1} = \dfrac{1}{1} = 1.$
Cho $n\in N^*$, nếu \(\left| q \right| < 1\) thì:
Định lý: Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).
Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng $-1$?
$\begin{array}{l}\lim \dfrac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}} = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{n} - \dfrac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \dfrac{4}{{{n^3}}}}} = \dfrac{0}{{ - 2}} = 0.\\\lim \dfrac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{ - 2 - \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{2}{{ - 2}} = - 1.\\\lim \dfrac{{2{n^2} - 3}}{{2{n^2} + 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{2 + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{2}{2} = 1.\\\lim \dfrac{{2{n^3} - 3}}{{2{n^2} - 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{3}{{{n^3}}}}}{{\dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^3}}}}} = + \infty .\end{array}$
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu:
Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0\).
Giá trị \(\lim \left( {{n^3} - 2n + 1} \right)\) bằng
Ta có: \({n^3} - 2n + 1 = {n^3}\left( {1 - \dfrac{2}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)\).
Vì \(\lim {n^3} = + \infty \) và \(\lim \left( {1 - \dfrac{2}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1 > 0\) nên \(\lim \left( {{n^3} - 2n + 1} \right) = + \infty \)
Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:
Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\).
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
Bước 1:
$\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$ $ = \lim \dfrac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} $
$= \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$
Bước 2:
$ =\dfrac{2.0-3+5.0}{3.0+9}= \dfrac{{ - 3}}{9} = - \dfrac{1}{3}.$
Cho \(\lim {u_n} = L\). Chọn mệnh đề đúng:
Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:
i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).
ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)
Từ định lý trên ta thấy chỉ có đáp án D đúng.
Giới hạn $\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$bằng?
$\lim \dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}{{(n + 1)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$ $ = \lim \dfrac{{\dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}}}{{{n^3}}}.\dfrac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{{2 - 25{n^5}}}{{{n^5}}}}}$ $ = \dfrac{{{{\left( {\frac{{2 - 5n}}{n}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{n^5}}} - 25}}$ $ = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 5} \right)}^3}.{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\dfrac{2}{{{n^5}}} - 25}} $ $ = \dfrac{{{{\left( {0 - 5} \right)}^3}{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}{{0 - 25}}$ $= \dfrac{{{{( - 5)}^3}{{.1}^2}}}{{ - 25}} = 5$.
Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\). Chọn mệnh đề đúng:
Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\). Khi đó \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)
Giới hạn $\lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}$bằng?
Cách 1:
$\begin{array}{l}\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} \\= \lim \frac{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } ).( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} })}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} }).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{({n^2} - 3n - 5) - (9{n^2} + 3)}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } ).(2n - 1)}} \\= \lim \frac{{ - 8{n^2} - 3n - 8}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } ).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{ - 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}}{{( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} })( {2 - \frac{1}{n}} )}} = \frac{{ - 8}}{{4.2}} = - 1.\end{array}$
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho $n.$
$\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} - \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \lim \frac{{1 - 3}}{2} = - 1$
Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Chọn mệnh đề sai:
Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M,\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M,\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)
Giới hạn $\lim \dfrac{{2{n^2} - n + 4}}{{\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }}$bằng?
$\lim \dfrac{{2{n^2} - n + 4}}{{\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {2 - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .$