Đường thẳng song song với mặt phẳng
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng không thể là:
Đường thẳng và mặt phẳng nếu có hai điểm chung thì sẽ có vô số điểm chung nên không thể chỉ có hai điểm chung.
Nếu đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung thì chúng
Nếu đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung thì chúng song song.
Cho đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) như hình vẽ, số điểm chung của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) là:
Từ hình vẽ ta thấy \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại duy nhất một điểm.
Cho tứ diện \(ABCD\). Chọn kết luận đúng:
Từ hình vẽ ta thấy:
+) Đường thẳng \(AD\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên đáp án A, B đều sai.
+) \(A \in \left( {ABC} \right),B \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên C đúng.
+) Đường thẳng \(AC\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên D sai.
Nếu một đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) mà nó song song với đường thẳng \(d'\) trong \(\left( \alpha \right)\) thì:
Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) mà \(d\) song song với một đường thẳng \(d'\) nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\) thì \(d\) và \(d'\) có thể:
Nếu đường thẳng \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\) thì \(d\) và \(d'\) có thể song song hoặc chéo nhau.
Cho \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\), số giao điểm của \(d\) và \(d'\) là:
Vì \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\) nên \(d\) và \(d'\) chỉ có thể song song hoặc chéo nhau. Do đó chũng không có điểm chung.
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), nếu mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(d\) mà cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(d'\) thì:
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), nếu mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(d\) mà cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(d'\) thì \(d//d'\).
Cho hai đường thẳng chéo nhau, số mặt phẳng chứa đường thẳng này mà song song đường thẳng kia có thể là:
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Cho tứ diện $ABCD,$ gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ACD,$ $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $CM = 2MB.$ Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ ta có \(G \in CE\) và \(\dfrac{{CG}}{{CE}} = \dfrac{2}{3}\)
Vì \(CM = 2MB \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{2}{3}\)
Xét tam giác $BCE$ có: \(\dfrac{{CG}}{{CE}} = \dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{2}{3} \)
\(\Rightarrow \) $MG // BE$ (Định lí Ta – let đảo)
Mà \(BE \subset \left( {ABD} \right)\) \( \Rightarrow \) $MG // (ABD)$
Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $M, N $ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $ABC.$ Khi đó $MN$ song song với
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ ta có:
\(\begin{array}{l}M \in SE\,;\,\dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{1}{3}\\N \in EC\,;\,\dfrac{{EN}}{{EC}} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Xét tam giác $ESC$ ta có \(\dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{{EN}}{{EC}} = \dfrac{1}{3} \)
\(\Rightarrow \) $MN // SC$ (Định lí Ta – let đảo).
Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN // (SCD)\)
Hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $O$ và $O’$ lần lượt là tâm hình bình hành $ABCD $ và $ABEF.$ $OO’$ song song với:
Vì $O$ và $O’$ lần lượt là tâm hình bình hành $ABCD $ và $ABEF$ nên $O$ là trung điểm của $BD;$ $O’$ là trung điểm của $FB.$
Xét tam giác $BDF $ có: $OO’$ là đường trung bình \( \Rightarrow \) $OO’ // DF$
Mà \(DF \subset \left( {DCEF} \right);\) \(DF \subset \left( {ADF} \right)\,;\) \(\,DF // \left( {BCE} \right)\)
Nên $OO’ // (DCEF) ;$ $ OO’ // (ADF) ;$ $ OO’ // (BCE)$ (cùng song song với DF).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $BC, SC, SD, AD$ sao cho $MN // BS, NP // CD, MQ // CD. $ Hỏi $PQ$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
Vì $MN // BS $ nên \(\dfrac{{CN}}{{CS}} = \dfrac{{CM}}{{CB}}\) (Định lí Ta – let) (1)
Vì $MQ // CD // AB$ nên \(\dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{{DQ}}{{DA}}\) (2)
Vì $NP // CD$ nên \(\dfrac{{CN}}{{CS}} = \dfrac{{DP}}{{DS}}\) (Định lí Ta – let) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{DP}}{{DS}} = \dfrac{{DQ}}{{DA}}\) \( \Rightarrow PQ // SA\) (Định lí Ta – let đảo)
Ta có: \(SA \subset \left( {SAB} \right)\,\,;\,\,SA \subset \left( {SAD} \right)\).
Tuy nhiên $PQ \subset \left( {SAD} \right)$ nên $PQ$ không song song với $mp(SAD).$
Ngoài ra $PQ$ không nằm trong $(SAB)$ nên $PQ//(SAB)$
Vậy $PQ // (SAB).$
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A và D sai vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau hoặc trùng nhau.
B sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Cho các mệnh đề sau:
a. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(P).$
b. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong $(P).$
c. Nếu $a // (P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
d. Nếu $a // (P)$ thì có một đường thẳng $d$ nào đó nằm trong $(P)$ sao cho $a$ và $d$ đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
Các mệnh đề b, c, d đúng nên có $3$ mệnh đề đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các đoạn thẳng SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Xét các khẳng định sau:
(1) MN // (SCD) (2) EF // (SAD)
(3) NE // (SAC) (3) IJ // (SAB)
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Trước hết ta lấy điểm \(M \in \left( P \right)\) sao cho \(M \in SA\).
Trong mp(SAB) kẻ MN // SA \(\left( {N \in AB} \right)\), trong mp(ABCD) kẻ NE // AC \(\left( {E \in BC} \right)\).
\(NE \cap BD = \left\{ J \right\}\)
Trong mp(SBC) kẻ EF // SB \(\left( {F \in SC} \right)\), trong mp(SBD) kẻ JI // SD \(\left( {I \in SD} \right)\).
Giả sử MN // (SCD)
Lại có: MN // SB\( \Rightarrow SB \subset \left( {SCD} \right)\) (vô lý) nên (1) sai.
Tương tự ta chứng minh được (2) sai.
NE // AC\( \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \) NE // (SAC). Do đó (3) đúng.
IJ // SB\( \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow \)IJ // (SAB). Do đó (4) đúng.
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P).$ Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong $(P)$ và song song với $a $ có thể là:
Đường thẳng $a//(P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
Cho tứ diện $ABCD. $ Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD.$ Chọn câu sai ?
Gọi $E$ là trung điểm của $CD$\( \Rightarrow {G_1} \in BE;{G_2} \in AE \Rightarrow B{G_1};A{G_2};CD\) đồng quy tại $E.$ Suy ra C đúng.
Ta có: \(\dfrac{{E{G_1}}}{{EB}} = \dfrac{{E{G_2}}}{{EA}} = \dfrac{1}{3} \) \(\Rightarrow {G_1}{G_2}// AB\) và ${G_1}{G_2} = \dfrac{1}{3}AB$ (Định lí Ta-let đảo)
Mà \(AB \subset \left( {ABD} \right) \Rightarrow {G_1}{G_2}// (ABD)\)
\(AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow {G_1}{G_2}// (ABC).\)
Suy ra A và B đúng. Vậy D sai
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình bình hành. \(Mp\left( \alpha \right)\) qua $BD$ và song song với $SA$ cắt $SC$ tại $K.$ Chọn khẳng định đúng?
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Trong mặt phẳng $SAC,$ qua $O$ kẻ ${\rm{O}}K \bot AC\,\,\left( {K \in SC} \right)$, suy ra $mp$\(\left( \alpha \right)\) chính là $mp(BDK).$
$OK // SA ; AO = OC$\( \Rightarrow \) $SK = KC.$ (Định lí đường trung bình của tam giác)
Cho tứ diện đều $SABC.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB, M $ là một điểm di động trên đoạn $AI.$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $SI, IC,$ biết $AM = x.$ Thiết diện tạo bởi $mp(P)$ và tứ diện $SABC $ có chu vi là:
Trong $mp(ABC)$ kẻ $MF // IC$ \(\left( {F \in AC} \right)\), trong $mp(SAB)$ kẻ $ME // SI$ \(\left( {E \in SA} \right)\).
Do đó $mp(P)$ chính là $(MEF)$ và thiết diện tạo bởi $mp(P)$ và tứ diện đều $SABC$ là tam giác $MEF.$
Gọi $a$ là cạnh của tứ diện đều $SABC.$
Xét tam giác đều $ABC$ và tam giác $SAB$ là những tam giác đều cạnh $a$ nên \(CI = SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong $(ABC)$ ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{ME}}{{SI}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{ME}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow ME = x\sqrt 3 .\)
Trong $(SAB)$ ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{MF}}{{CI}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{MF}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow MF = x\sqrt 3 .\)
Ta lại có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AS}} \) \(\Rightarrow EF\) $// SC $ (Định lí Ta-let đảo)
\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{SC}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AM}}{{AI}} \Leftrightarrow \dfrac{{EF}}{a} = \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} \Leftrightarrow EF = 2x\)
Vậy chu vi tam giác $MEF $ bằng $ME + MF + EF =$ \(x\sqrt 3 + x\sqrt 3 + 2x = 2x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)