Logarit

Số ${\log _a}b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$.

${\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \dfrac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _a}b$

Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là $0 < a \ne 1,b > 0$.

$P = {\log _2}{a^2} - {\log _{{2^{ - 1}}}}{b^2} = {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^2} = {\log _2}\left( {{a^2}{b^2}} \right) = {\log _2}{\left( {ab} \right)^2}$

Cho $a > 0;a \ne 1,b > 0$, khi đó nếu ${\log _a}b = N$ thì ${a^N} = b$.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _8}x > 0\end{array} \right.\)

Khi đó:

\({\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{1}{3}{{\log }_2}x} \right) = {\log _2}\sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{\log _2}x = \sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}}\log _2^3x = {\log _2}x \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 27\)

(vì \({\log _2}x > 0\) nên chia cả hai vế cho \({\log _2}x \ne 0\)

${\log _a}1 = 0$ nên A, C sai.

${\log _a}a = 1$ nên B sai, D đúng.

${\log _{{a^2}}}(ab) = \dfrac{1}{2}{\log _a}(ab) = \dfrac{1}{2}(1 + {\log _a}b) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _a}b$

Từ các công thức ${\log _a}{a^b} = b,\forall b \in R;{a^{{{\log }_a}b}} = b,\forall b > 0$ ta thấy các dáp án A, C, D đều đúng, đáp án B sai.

Ta có: \(\log \left( {a{b^2}} \right) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b\)

$S = \ln \dfrac{a}{b} + \ln \dfrac{b}{c} + \ln \dfrac{c}{d} + \ln \dfrac{d}{a} = \ln \left( {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}.\dfrac{d}{a}} \right) = \ln 1 = 0$

${\log _{0.5}}a > {\log _{0.5}}b \Leftrightarrow a < b{\rm{  }}$ vì $0,5 <1$ suy ra  A sai.

$\log x < 0 \Leftrightarrow \log x < \log 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ suy ra B đúng.

${\log _2}x > 0 \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _2}1 \Leftrightarrow x > 1$ suy ra C đúng.

${\log _{\dfrac{1}{3}}}a = {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0{\rm{  }}$suy ra D đúng.

\(\begin{array}{l}P = {\left( {\ln a + {{\log }_a}e} \right)^2} + {\ln ^2}a - \log _a^2e = {\ln ^2}a + 2.\ln a.{\log _a}e + \log _a^2e + {\ln ^2}a - \log _a^2e\\ = 2.{\ln ^2}a + 2.\ln a.\dfrac{{\ln e}}{{\ln a}} = 2{\ln ^2}a + 2\end{array}\)

Ta có: ${2^{{{\log }_2}3}} = 3 = {5^{{{\log }_5}3}}$ nên B đúng.

Ta có

\(\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}\) và \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\)\( \Rightarrow 0 < a < 1\)

\(\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\) và \({\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow b > 1\)

Ta có: ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)$

${\log _a}\left( {\dfrac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)$

Ta có: \({\log _a}b > {\log _a}a = 1;{\log _b}a < {\log _b}b = 1 \Rightarrow {\log _b}a < 1 < {\log _a}b\)

Ta có: ${\log _5}6 = {\log _5}\left( {2.3} \right) = {\log _5}2 + {\log _5}3$.

Vì $0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0$. Do đó

${\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x $ $\Leftrightarrow \dfrac{{\ln x}}{{\ln c}} > 0 > \dfrac{{\ln x}}{{\ln b}} > \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}$ $ \Rightarrow \ln c < 0 < \ln a < \ln b$

Mà hàm số $y = \ln x$  đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$  nên ta suy ra $c < a < b$

Ta có:

${\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)$                                         

${\log _a}\dfrac{1}{b} =  - {\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)$

${\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\dfrac{1}{n}}} = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^*}} \right)$

Vậy đẳng thức không đúng là ${\log _a}\sqrt[n]{b} =  - n{\log _a}b$.