Bài toán về hàm phân thức có tham số
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
x=12 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y=−12 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Hàm số nghịch biến trên (−∞;12) và (12;+∞)
Cho hàm số y=f(x)có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
Nhận xét:
x=−32 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y=12 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Hàm số nghịch biến trên (−∞;−32) và (−32;+∞)
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là sai?
Nhận xét:
x=−1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Hàm số đồng biến trên (−∞;−1) và (−1;+∞)
Þ Khẳng định sai là: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=−1
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm có tọa độ là:
Từ bảng biến thiên ta có:
- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x=−1.
- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y=2.
Vậy tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm có tọa độ là (−1;2)
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x=1
B đúng vì hàm số luôn đồng biến nên không có cực trị
C đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y=2
D sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞) chứ không đồng biến trên toàn bộ tập số thực R
Cho hàm số y=5x−2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: y′=−5(x−2)2<0 ∀x∈D
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2) và (2;+∞)
Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây nằm trên đường thẳng d:y=x?
Đáp án A có giao hai đường tiệm cận là (−3;2)∉d
Đáp án B có giao hai đường tiệm cận là (1;1)∈d
Đáp án C có giao hai đường tiệm cận là (−2;2)∉d
Đáp án D có giao hai đường tiệm cận là (−3;0)∉d
Cho hàm số y=x+2x−3 có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiêu điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=1⇔y−1=0
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x=3⇔x−3=0
Giả sử M(x0;x0+2x0−3) thuộc đồ thị hàm số.
Từ đề bài ta có phương trình
5|x0−3|=|x0+2x0−3−1|⇔5|x0−3|=|5x0−3|⇔(x0−3)2=1
⇔[x−3=−1x−3=1⇔[x0=2x0=4
Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là (2;−4) và (4;6)
Cho hàm số y=3x+1x+2(C). Các đường tiệm cận của (C) cùng với 2 trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng:
Đồ thị hàm số y=3x+1x+2 có:
- Tiệm cận đứng là x=−2.
- Tiệm cận ngang là y=3.
Diện tích hình chữ nhật được tạo bởi 2 tiệm cận là: S=|−2|.|3|=6 đvdt

Cho hàm số y=4x+1x+3(C). Khoảng cách từ giao điểm 2 đường tiệm cận của (C) đến gốc tọa độ bằng:
Đồ thị hàm số y=4x+1x+3 có:
- Tiệm cận đứng x=−3.
- Tiệm cận ngang y=4.
- Giao 2 tiệm cận: I(−3;4)
→OI(−3;4)→OI=√(−3)2+42=5
Þ Khoảng cách từ giao điểm 2 đường tiệm cận của (C) đến gốc tọa độ bằng 5

Cho hàm số y=ax−1x+d có bảng biến thiên

Giá trị của a2+d2 bằng:
Xét hàm số y=ax−1x+d
+) Tiệm cận đứng x=−d mà theo bảng biến thiên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x=1 suy ra d=−1.
+) Tiệm cận ngang y=a1 mà theo bảng biến thiên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y=−3 suy ra a=−3.
Vậy: a2+d2=(−3)2+(−1)2=10
Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=mx+5x+1 đi qua A(1;−3)
TXĐ: D=R∖{−1}.
Hàm số y=f(x)=mx+5x+1 đi qua A(1;−3) nên ta có : f(1)=−3⇔m+51+1=−3⇒m=−11
Vậy m=−11 thì hàm số đã cho đi qua A(1;−3).
Cho hàm số y=2x+bcx+d có bảng biến thiên:

Giá trị của c2−d2 bằng:
Đồ thị hàm số y=2x+bcx+d có {TCD→x=−dc=−1TCN→y=2c=2⇒{c=1d=1⇒c2−d2=12−12=0
Đồ thị hàm số y=ax+22x+d như hình vẽ bên.

Chọn khẳng định đúng:
Đồ thị hàm số y=ax+22x+d có {TCD→x=−d2=−12⇒d=1TCN→y=a2=1⇒a=2⇒3a+d=7
Đồ thị hàm số y=2x+bcx+d như hình vẽ bên

Chọn khẳng định đúng:
Đồ thị hàm số y=2x+bcx+d có {TCN→y=2c=2⇒c=1TCD→x=−dc=−d1=−1⇒d=1
Hàm số có dạng y=2x+bx+1(C)
Ta có điểm (0;1)∈(C)
Thay x=0 và y=1 vào hàm số ta được 1=2.0+b0+1⇒b=1 ⇒b+c+d=3
Đồ thị hàm số y=ax−bx−1 như hình vẽ bên

Chọn khẳng định đúng:
+) y=ax−bx−1⇒y′=−a+b(x−1)2,∀x≠1
Hàm số đồng biến ⇒y′>0⇔−a+b>0⇔b>a
+) Tiệm cận ngang y=a1>0⇒a>0
Vậy 0<a<b
Đồ thị hàm số y=ax+2cx+b như hình vẽ bên.

Chọn khẳng định đúng:
Ta có đồ thị hàm sốy=ax+2cx+b đi qua điểm có tọa độ (0;−1)
Thay x=0;y=−1 vào hàm số ta được −1=a.0+2c.0+b⇒b=−2
Đồ thị hàm số y=ax+2cx−2 có
{TCD→x=2c=2⇒c=1TCN→y=ac=a1=1⇒a=1 ⇒a=1;b=−2;c=1
Đồ thị hàm số y=ax+bcx+d như hình vẽ bên

Chọn khẳng định đúng
+) Đồ thị hàm số y=ax+bcx+d có:
- TCĐ: x=−dc>0⇒cd<0⇒ Loại C.
- TCN: y=ac>0⇒ac>0
- Giao Oy:x=0 ⇒y=bd<0⇒bd<0⇒ Loại B.
- Giao Ox:y=0 ⇒x=−ba<0⇒ab>0
Vì ac>0;ab>0 nên ab.ac>0⇒bc>0
Vì ab>0;bd<0 nên ab.bd<0⇒ad<0⇒Loại D.
Đồ thị hàm số y=ax+bcx+d như hình vẽ bên

Chọn khẳng định đúng
Đồ thị hàm số y=ax+bcx+d có:
- TCĐ x=−dc<0⇒cd>0
- TCN y=ac>0⇒ac>0
⇒ac.cd>0⇒ad>0⇒Loại A, B.
- y′=ad−bc(cx+d)2>0⇒ad>bc
- Cắt Oy:x=0⇒y=bd<0⇒bd<0
- Cắt Ox:y=0⇒x=−ba>0⇒ab<0
Vì ac>0;ab<0 nên ac.ab<0⇒bc<0⇒ Loại D
Đồ thị hàm số y=ax+bcx+d như hình vẽ bên

Chọn khẳng định đúng
Đồ thị hàm số y=ax+bcx+d có:
- TCĐ: x=−dc<0⇒cd>0.
- TCN: y=ac>0⇒ac>0.
⇒cd.ac>0⇒ad>0⇒ Loại D.
- Giao Oy:x=0⇒y=bd<0⇒bd<0⇒Loại C.
- Giao Ox:y=0⇒x=−ba>0⇒ab<0⇒Loại A.