Bài toán về hàm phân thức có tham số

Gọi $M\left( {m;\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)$. Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận $x = 2$ và $y = 1$ là

$S = \left| {m - 2} \right| + \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \left| {m - 2} \right| + \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \geqslant 2\sqrt {\left| {m - 2} \right|.\dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}}  = 2\sqrt 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3$

Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là ${M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$

Xét đồ thị hàm số $y = \dfrac{{5 - 2x}}{{x + 4}}$ có TCĐ là $x =  - 4$.

Suy ra hai đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng trùng nhau $\Leftrightarrow x =  - 4$ là TCĐ của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{{m^2} - 8 - x}}$.

Ta thấy $x =  - 4$ không là nghiệm của tử số $\Rightarrow x =  - 4$ là TCĐ của đồ thị hàm số$\Leftrightarrow {m^2} - 8 =  - 4 \Leftrightarrow {m^2} - 8 + 4 = 0$$\Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2$.