Cho đường thẳng ${d_1}:x + 2y - 7 = 0$ và ${d_2}:2x - 4y + 9 = 0$. Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.
$\left\{ \begin{align} & {{d}_{1}}:x+2y-7=0\to {{{\vec{n}}}_{1}}=\left( 1;2 \right) \\ & {{d}_{2}}:2x-4y+9=0\to {{{\vec{n}}}_{2}}=\left( 1;-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\xrightarrow{\varphi =\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}\cos \varphi =\dfrac{\left| 1-4 \right|}{\sqrt{1+4}.\sqrt{1+4}}=\dfrac{3}{5}.$
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..$
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \varphi = {90^ \circ }.\)
Cho hai đường thẳng ${d_1}:3x + 4y + 12 = 0$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.$. Tìm các giá trị của tham số \(a\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) hợp với nhau một góc bằng \({45^0}.\)
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x + 4y + 12 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {3;4} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {2;a} \right)\end{array} \right.\)
\(\varphi = \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^0} = \cos \varphi = \dfrac{{\left| {6 + 4a} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt {{a^2} + 4} }}\)
\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 14\\a = \dfrac{2}{7}\end{array} \right..\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng $\Delta :3x + y + 4 = 0$ bằng:
Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng x-3y+4=0 và 2x+3y-1=0 thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3y = - 4\\
2x + 3y = 1
\end{array} \right.$
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \)
\(\to A\left( { - 1;1} \right) \)
\(\to d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {10} }}.\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có $A\left( {1;2} \right),$ $B\left( {0;3} \right)$ và $C\left( {4;0} \right)$. Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh \(A\) bằng:
$\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;2} \right)\\B\left( {0;3} \right),\,\,C\left( {4;0} \right) \end{array} \right.\\\to BC:3(x-0) + 4(y - 3) =3x+4y-12= 0\\ \to {h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 8 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{1}{5}.$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có $A\left( {3; - 4} \right),$ $B\left( {1;5} \right)$ và $C\left( {3;1} \right)$. Tính diện tích tam giác \(ABC\).
Cách 1:
+) Viết phương trình \(BC\):
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 2} \right)\) là VTCP của \(BC\), do đó \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {1;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\) làm VTPT nên: \(BC:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(BC:2x + y - 7 = 0\).
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\B\left( {1;5} \right),\,C\left( {3;1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\BC = 2\sqrt 5 \\BC:2x + y - 7 = 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}BC = 2\sqrt 5 \\{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \sqrt 5 \end{array} \right.$
$ \to {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\sqrt 5 = 5.$
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).
$d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 $ $ \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} $ $ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$
Cho đường thẳng $\left( \Delta \right):3x - 2y + 1 = 0$ . Viết PTĐT $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$ và tạo với $\left( \Delta \right)$ một góc ${45^0}$
+) TH1: \(\left( d \right)\) không có hệ số góc.
Khi đó phương trình \(\left( d \right)\) có dạng: \(x - c = 0\).
\(\left( d \right)\) đi qua \(M\left( {1;2} \right)\) nên \(x - 1 = 0\) nên có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;0} \right)\).
\( \Rightarrow \cos \left( {d,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}\) \( = \dfrac{{\left| {3.1 - 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}\) \( \ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0}\).
Do đó đường thẳng này không thỏa mãn bài toán.
+) TH2: \(\left( d \right)\) có hệ số góc.
PTĐT $\left( d \right)$ được viết dưới dạng: \(y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2-k = 0\)
Vì $\left( d \right)$ hợp với $\left( \Delta \right)$ một góc ${45^0}$ nên: ${\rm{cos 4}}{{\rm{5}}^0} = \dfrac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}$
\( \Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{5}\\k = - 5\end{array} \right.\)
Vậy phương trình $\left( d \right)$ là: \(\dfrac{1}{5}x - y + 2 - \dfrac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0\) hay \( - 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0\)
Lập phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua $M\left( {2;7} \right)$ và cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1.$
+) TH1: \(\left( \Delta \right)\) không có hệ số góc, khi đó phương trình \(\left( \Delta \right)\) có dạng \(x = c\) hay \(x - c = 0\).
\(\left( \Delta \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;7} \right)\) nên \(2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2\) \( \Rightarrow \left( \Delta \right):x - 2 = 0\).
Khi đó \(d\left( {N,\left( \Delta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1\) (thỏa mãn).
Do đó ta có đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\).
+) TH2: \(\left( \Delta \right)\) có hệ số góc.
PTĐT $\left( \Delta \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$ và có hệ số góc $k$ có dạng là:
$y - 7 = k\left( {x - 2} \right)$\( \Leftrightarrow \)\(kx - y + 7 - 2k = 0\)
Vì $\left( \Delta \right)$ cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1$ nên:
Ta có: $d(N, ∆) =1$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {( - k + 5)^2} = {(\sqrt {{k^2} + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$
Do đó ta có phương trình $\left( \Delta _2 \right)$ là: \(\dfrac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\dfrac{{12}}{5} = 0 \) \(\Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0\)
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\) và \(\left( \Delta _2 \right):12x - 5y + 11 = 0\).
Cho đường thẳng \(d\) có ptts: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.;t \in R\). Tìm điểm \(M \in d\) sao cho khoảng cách từ $M$ đến điểm \(A(0;1)\) một khoảng bằng $5.$
Điểm \(M \in d\) nên tọa độ của $M$ phải thỏa mãn phương trình của $d.$
Gọi \(M(2 + 2t;3 + t) \in d\).
Ta có:$\overrightarrow {AM} = (2 + 2t;2 + t)$.
Theo giả thiết: \(\overrightarrow {\left| {AM} \right|} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}} = 5\)\( \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25\)
\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{ - 17}}{5}\end{array} \right.\).
Vậy có $2$ điểm $M$ thỏa ycbt \({M_1}(4;4)\) và \({M_2}(\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5})\).
Cho \(d:x + 3y - 6 = 0;d':3x + y + 2 = 0.\) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$
Vì: \(\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{1}\) nên $d$ cắt $d'$
Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$ là:
\(\dfrac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} = \pm \dfrac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 = - \left( {3x + y + 2} \right)}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)
Lập phương trình đường phân giác trong của góc $A$ của \(\Delta ABC\) biết \(A\left( {2;0} \right);B\left( {4;1} \right);C\left( {1;2} \right)\)
+ Cạnh $AB$ đi qua hai điểm $A,B$ nên phương trình cạnh \(AB: x - 2y - 2 = 0\)
+ Cạnh $AC$ đi qua hai điểm $A,C$ nên phương trình cạnh \(AC: 2x + y - 4 = 0\)
+ Phương trình hai đường phân giác của góc $A$:
\(\dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} = \pm \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0\quad \left( d \right)}\\{3x - y - 6 = 0\quad \left( {d'} \right)}\end{array}} \right.\)
+ Xét đường phân giác \(\left( d \right):x + 3y - 2 = 0\)
Thế tọa độ điểm $B$ vào vế trái của \(d\): \({t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 > 0\)
Thế tạo độ điểm $C$ vào vế trái của \(d\): \({t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 > 0\)
Vì \({t_1}.{t_2} > 0\) nên $B$ và $C$ nằm cùng phía đối với \(d \Rightarrow d\) là đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc $A$ là: \(d':3x - y - 6 = 0\)
Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cặp điểm nào dưới đây nằm cùng phía so với đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0\)?
Ta thế tọa độ \(M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\) và \(P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)\) vào đường thẳng:
\(\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\) nên loại A.
Ta thế tọa độ \(N\left( {1;{\rm{ 1}}} \right)\) và \(P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)\) vào đường thẳng:
\(\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\) nên loại B.
Ta thế tọa độ \(M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\) và \(Q\left( {2;{\rm{ }} - 1} \right)\) vào đường thẳng:
\(\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) > 0\) nên chọn C.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho hình vuông $ABCD$ biết $M\left( {2;1} \right);N\left( {4;-2} \right);P\left( {2;0} \right);Q\left( {1;2} \right)$ lần lượt thuộc cạnh $AB,BC,CD,AD.$ Hãy lập phương trình cạnh $AB$ của hình vuông.
Giả sử đường thẳng $AB$ qua $M$ và có VTPT là $\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$
=> VTPT của $BC$ là: ${\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)$.
Phương trình AB có dạng: $a\left( {x-2} \right) + b\left( {y-1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow ax + by-2a-b = 0$
BC có dạng: $-b\left( {x-4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\;$ $ \Leftrightarrow -bx + ay + 4b + 2a = 0$
Do $ABCD$ là hình vuông nên $d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {3b + 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 2a\\b = - a\end{array} \right.$
TH1: \(b = - 2a\)
Chọn \(a = 1 \Rightarrow b = - 2\) ta được \(AB:x - 2y - 2.1 - \left( { - 2} \right) = 0\) hay \(x - 2y = 0\)
\(BC: - \left( { - 2} \right)x + y + 4.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0\) hay \(2x + y - 6 = 0\)
CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTPT
Do đó CD: 1(x-2) – 2(y-0) = 0 hay x-2y-2=0
AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\) làm VTPT
Do đó AD: 2(x-1) + 1(y-2) = 0 hay 2x+y-4=0
TH2: \(b = - a\)
Chọn \(a = 1 \Rightarrow b = - 1\) ta được \(AB:x - y - 2.1 - \left( { - 1} \right) = 0\) hay \(x - y - 1 = 0\)
\(BC: - \left( { - 1} \right)x + y + 4.\left( { - 1} \right) + 2.1 = 0\) hay \(x + y - 2 = 0\)
CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT
Do đó CD: 1(x-2) – 1(y-0) = 0 hay x-y-2=0
AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT
Do đó AD: 1(x-1) + 1(y-2) = 0 hay x+y-3=0.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho $2$ đường thẳng ${d_1}:x - 7y + 17 = 0,$
${d_2}:x + y - 5 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( {0;1} \right)$ tạo với ${d_1},{d_2}$ một tam giác cân tại giao điểm của ${d_1},{d_2}$.
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi ${d_1},{d_2}$ là:
$\dfrac{{\left| {x - 7y + 17} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {x + y - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 6y - 21 = 0{\rm{ (}}{\Delta _1}{\rm{)}}\\3x - y - 4 = 0{\rm{ (}}{\Delta _2}{\rm{)}}\end{array} \right.$
Đường thẳng cần tìm đi qua $M\left( {0;1} \right)$ và vuông góc với ${\Delta _1},{\Delta _2}$
+ Gọi \({d_3}\) là đường thẳng vuông góc với \({\Delta _1}\) thì \({d_3}\) có dạng: \(3x - y + c = 0\)
\({d_3}\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\) nên \(3.0 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\) hay \(3x - y + 1 = 0\)
+ Gọi \({d_4}\) là đường thẳng vuông góc với \({\Delta _2}\) thì \({d_4}\) có dạng: \(x + 3y + c = 0\)
\({d_4}\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\) nên \(0 + 3.1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 3\) hay \(x + 3y - 3 = 0\)
KL: $x + 3y - 3 = 0$ và $3x - y + 1 = 0$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho $\Delta ABC$ cân có đáy là $BC.$ Đỉnh $A$ có tọa độ là các số dương, hai điểm $B$ và $C$ nằm trên trục $Ox,$ phương trình cạnh $AB:$ $y = 3\sqrt 7 (x - 1)$. Biết chu vi của $\Delta ABC$ bằng $18,$ tìm tọa độ các đỉnh $A,B,C.$
$B = AB \cap Ox \Rightarrow B(1;0)$, $A \in AB \Rightarrow A\left( {a;3\sqrt 7 (a - 1)} \right) \Rightarrow a > 1$ (do ${x_A} > 0,{y_A} > 0$).
Gọi $AH$ là đường cao \(\Delta ABC\), do \(\Delta ABC\) cân tại $A$ nên $AH$ cũng là đường trung tuyến, khi đó $H$ là trung điểm của $BC$
$ \Rightarrow H(a;0) \Rightarrow C(2a - 1;0) \Rightarrow BC = 2(a - 1),AB = AC = 8(a - 1)$
Chu vi tam giác \(ABC\) bằng \(18\) $ \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow C(3;0),A\left( {2;3\sqrt 7 } \right)$
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho $4$ điểm $A\left( {1;0} \right),B\left( {-2;4} \right),C\left( {-1;4} \right),D\left( {3;5} \right).$ Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $(\Delta ):3x - y - 5 = 0$ sao cho hai tam giác $MAB,MCD$ có diện tích bằng nhau.
Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t - 5\end{array} \right.\)
Điểm $M \in \Delta \Rightarrow M\left( {t;3t-5} \right)$
\(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right);\overrightarrow {CD} \left( {4;1} \right)\)
Phương trình đường thẳng $AB:4x + 3y - 4 = 0$
Phương trình đường thẳng $CD:x - 4y + 17 = 0$
${S_{MAB}} = {S_{MCD}} \Leftrightarrow d(M,AB).AB = d(M,CD).CD$
\(\dfrac{{\left| {4t + 3(3t - 5) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.AB = \dfrac{{\left| {t - 4(3t - 5) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {4^2}} }}.CD\)\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {13t - 19} \right|}}{5}.\sqrt {{4^2} + {3^2}} = \dfrac{{\left| { - 11t + 37} \right|}}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {1 + {4^2}} \)
$ \Leftrightarrow t = - 9 \vee t = \dfrac{7}{3}$ $ \Rightarrow M( - 9; - 32),M\left( {\dfrac{7}{3};2} \right)$
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho \(\Delta ABC\) có đỉnh $A\left( {1;2} \right),$ phương trình đường trung tuyến \(BM:2x + y + 1 = 0\) và phân giác trong \(CD:x + y - 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng $BC.$
Điểm \(C \in CD:x + y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {t;1 - t} \right)\).
Suy ra trung điểm $M$ của $AC$ là \(M\left( {\dfrac{{t + 1}}{2};\dfrac{{3 - t}}{2}} \right)\).
$M$ thuộc $BM$ nên \((t + 1) + \dfrac{{3 - t}}{2} + 1 = 0 \Rightarrow t = - 7 \Rightarrow C\left( { - 7;8} \right)\)
Từ $A\left( {1;2} \right),$ kẻ \(AI \bot CD\left( {I \in CD} \right)\) cắt \(BC\) tại \(K\)
Suy ra \(AK:\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\)
Tọa độ điểm $I$ thỏa hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1} \right)\)
Tam giác $ACK$ cân tại $C$ nên $I$ là trung điểm của $AK \Rightarrow K\left( { - 1;0} \right)$
Đường thẳng $BC$ đi qua $C,K$ nên có phương trình:
\(\dfrac{{x + 1}}{{ - 7 + 1}} = \dfrac{y}{8} \Leftrightarrow 4x + 3y + 4 = 0\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $I\left( {6;2} \right)$ là giao điểm của $2$ đường chéo $AC$ và $BD.$ Điểm $M\left( {1;5} \right)$ thuộc đường thẳng $AB$ và trung điểm $E$ của cạnh $CD$ thuộc đường thẳng $\Delta :x + y-5 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng $AB.$
$I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)$
$\Delta :x + y-5 = 0,E \in \Delta \Rightarrow E\left( {m;5-m} \right);$
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\)
$I$ trung điểm $NE$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m\\{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N\left( {12-m;m-1} \right)$
$\overrightarrow {MN} = \left( {11-m;m-6} \right);$ $\overrightarrow {IE} = \left( {m - 6;5-m-2} \right) = \left( {m-6;3-m} \right)$
$\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE} = 0$$ \Leftrightarrow \left( {11-m} \right)\left( {m-6} \right) + \left( {m-6} \right)\left( {3-m} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m-6 = 0\\14 - 2m = 0\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = 7\end{array} \right.\)
+ $m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5;0} \right)$ nên phương trình $AB$ là $y = 5$
+ $m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)$ nên phương trình $AB$ là $x-4y + 19 = 0$
