Cho đường thẳng $\left( \Delta  \right):3x - 2y + 1 = 0$ . Viết PTĐT $\left( d \right)$  đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$  và  tạo với $\left( \Delta  \right)$  một góc ${45^0}$

+) TH1: \(\left( d \right)\) không có hệ số góc.

Khi đó phương trình \(\left( d \right)\) có dạng: \(x - c = 0\).

\(\left( d \right)\) đi qua \(M\left( {1;2} \right)\) nên \(x - 1 = 0\) nên có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)\).

\( \Rightarrow \cos \left( {d,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}\) \( = \dfrac{{\left| {3.1 - 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}\) \( \ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0}\).

Do đó đường thẳng này không thỏa mãn bài toán.

+) TH2: \(\left( d \right)\) có hệ số góc.

PTĐT $\left( d \right)$ được viết dưới dạng: \(y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2-k = 0\)

Vì $\left( d \right)$ hợp với $\left( \Delta  \right)$ một góc ${45^0}$ nên: ${\rm{cos 4}}{{\rm{5}}^0} = \dfrac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}$

\( \Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{5}\\k =  - 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình $\left( d \right)$ là: \(\dfrac{1}{5}x - y + 2 - \dfrac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0\) hay \( - 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0\)