Cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của $(E).$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Cho elip (E) có tiêu cự là \(2c\), độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(2a\) và \(2b\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Hiển nhiên \(b < a\)
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) và có độ dài trục lớn là \(2a\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) ta có \(2c = {F_1}{F_2}\) .
Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Do đó \(2a > {F_1}{F_2}\)
Cho elip \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0\). Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:
Ta có: \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{40}} + \dfrac{{{y^2}}}{{10}} = 1\). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt {10} \\b = \sqrt {10} \end{array} \right.\)
Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: \(2\left( {2a + 2b} \right) = 2\left( {4\sqrt {10} + 2\sqrt {10} } \right) = 12\sqrt {10} \)
Elip $(E)$ có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của $(E)$ là:
Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có \(b = c\)
Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , suy ra \({a^2} = 2{c^2}\) hay \(a = \sqrt 2 c\)
Tâm sai của elip là: \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{c}{{\sqrt 2 c}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Cho elip \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) và cho các mệnh đề:
1. \((E)\) có các tiêu điểm \({F_1}(0; - 4)\) và \({F_2}(0;4)\)
2. \((E)\) có tỉ số \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\)
3. \((E)\) có đỉnh \({A_1}( - 5;0)\)
4. \((E)\) có độ dài trục nhỏ bằng $3.$
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:
Từ phương trình elip \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\end{array} \right.\)
Suy ra ta có:
1. \((E)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\) và \({F_2}(4;0)\) nên (1) sai.
2. \((E)\) có tỉ số \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\) nên (2) đúng.
3. \((E)\) có đỉnh \({A_1}( - 5;0)\) nên (3) đúng.
4. \((E)\) có độ dài trục nhỏ bằng \(2b = 6\) nên (4) sai.
Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).
Elip có độ dài trục lớn là $12,$ độ dài trục nhỏ là $8$ có phương trình chính tắc là:
Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra \(2a = 12\) hay \(a = 6\)
Độ dài trục nhỏ là $8,$ suy ra \(2b = 8\) hay \(b = 4\)
Vậy elip cần tìm là \(\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là $12,$ tiêu cự là $10$ là:
Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra \(2a = 12\) hay \(a = 6\)
Tiêu cự là $10,$ suy ra \(2c = 10\) hay \(c = 5\)
Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 - 25 = 11\)
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là $20,$ tâm sai là \(e = \dfrac{3}{5}\) là:
Độ dài trục lớn là $20,$ suy ra \(2a = 20\) hay \(a = 10\)
Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\), suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\) suy ra \(c = 6\)
Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64\)
Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự là $6,$ tâm sai là \(e = \dfrac{3}{5}\).
Tiêu cự elip bằng 6, suy ra \(2c = 6\) hay \(c = 3\)
Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\) , suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\) suy ra \(a = 5\)
Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\)
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) là:
Elip có hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) suy ra \(a = 5\) và \(b = 3\). Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Cho elip chính tắc $(E)$ có tiêu điểm \({F_1}(4;0)\) và một đỉnh là \(A(5;0).\) Phương trình chính tắc của elip $(E)$ là:
Elip có tiêu điểm \({F_1}(4;0)\)suy ra \(c = 4\), elip có một đỉnh là \(A(5;0)\) suy ra \(a = 5\)
Mặt khác ta có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 16 = 9\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\) và tâm sai \(e = \dfrac{1}{5}\) là:
Elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\) suy ra \(c = 1\)
Elip có tâm sai \(e = \dfrac{1}{5}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow a = 5\)
Mặt khác ta có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{24}} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\), tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) là:
Elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\) suy ra \(b = 2\).
Elip có tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) suy ra \(c = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)
Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\)
Vậy elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\), tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\).
Elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\)suy ra \(b = 4\).
Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\) suy ra ta có \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\). Vì \(a,c > 0\) nên ta có \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0\)
Mặt khác ta có \({a^2} - {c^2} = {b^2} = 16\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 25{c^2} = 0\\{a^2} - {c^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 9\end{array} \right.\)
Vậy phương trình của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là \(A(2;0)\) và đi qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) là:
Elip có đỉnh là \(A(2;0)\) suy ra \(a = 2\). Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) nên ta có \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có đi qua \(M(1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }})\), tiêu cự là $4$ là:
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Elip có tiêu cự là $4$ suy ra \(2c = 4 \Leftrightarrow c = 2\). Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2} = 4\)
Vì elip qua \(M\left( {1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 4\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{1}{{{b^2} + 4}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{{5{b^2} + 4\left( {{b^2} + 4} \right)}}{{5{b^2}\left( {{b^2} + 4} \right)}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\9{b^2} + 16 = 5{b^4} + 20{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\5{b^4} + 11{b^2} - 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\left[ \begin{array}{l}{b^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{{ - 16}}{5}\left( L \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 5\\{b^2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \(M(2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3})\) và \(N(2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3})\) là:
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(M\left( {2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\)
Vì elip qua \(N\left( {2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là $8$ và \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) là:
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \(4ab\)
Theo bài ra ta có \(4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4\)
Elip có \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\). Vì \(c,a > 0\) nên ta có \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0\)
Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ \({y_M}\) dương thuộc elip \(\left( E \right)\) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng \(\dfrac{4}{3}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9} = 8\)
Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9\)
Diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) là: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)\)
Lại có: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\)
