Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là $8$ và \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) là:

Phương trình elip cần tìm có dạng  \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  \(4ab\)

Theo bài ra ta có \(4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4\)

Elip có \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\). Vì \(c,a > 0\) nên ta có \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0\)

 Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)