Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ \({y_M}\) dương thuộc elip \(\left( E \right)\) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng \(\dfrac{4}{3}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9} = 8\)
Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9\)
Diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) là: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)\)
Lại có: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\)
Hướng dẫn giải:
+) Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)
Trong đó: trục lớn \({A_1}{A_2} = 2a\); trục nhỏ \({B_1}{B_2} = 2b\); tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c\) ; tâm sai \(e = \dfrac{c}{a}\)
+) Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
+) Công thức tính diện tích tam giác: \(S = p.r\) trong đó \(S\): diện tích tam giác; p : nửa chu vi; r : bán kính đường tròn nội tiếp.
