Hai đường thẳng vuông góc

A sai vì: Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $c$)

C sai vì: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau, ta dựng đường thẳng $c$ là đường vuông góc chung của $a$  và $b$. Khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng với góc giữa $b$ và $c$ và cùng bằng ${90^0}$, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng $a$ và $b$ không song song.

D sai vì: Giả sử $a$ vuông góc với $c,b~$ song song với $c$, khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng ${90^0}$, còn góc giữa $b$ và $c$ bằng ${0^0}$.

Do đó B đúng.

Đáp án A sai vì nếu góc giữa hai véc tơ chỉ phương lớn hơn ${90^0}$ thì góc giữa hai đường thẳng sẽ là góc bù với góc đó chứ không bằng.

Đáp án B sai vì vẫn có thể xảy ra các trường hợp $b$ và $c$ chéo nhau, cắt nhau, trùng nhau.

Đáp án C sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể nhọn hoặc vuông.

Do đó D đúng.

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

Ta có $\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM}  = \vec 0$ và $\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MB}  = \vec 0$.

Do đó  $\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MB}  = \vec 0$.

Suy ra $AB \bot CD$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$  bằng ${90^0}.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot c$ nên đáp án C đúng.

Đán án A: Ta thấy b cùng vuông góc với a và c nhưng hai đường thẳng a,c không vuông góc với nhau

Đáp án B: AB và BC và BB' vuông góc với nhau từng đôi một. BD cũng vuông góc với BB' nhưng lại không vuông góc với AB và cũng không vuông góc với BC.

Đáp án D: Ta thấy đường thẳng AD và BC song song, đường thẳng AB vuông góc với AD nhưng không vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD)

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

$\begin{array}{l} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ  - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ .\end{array}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ$.

Xét $\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {CS} .\left( {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB}$

$= CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB}$

Do $\Delta SAC = \Delta SBC\left( {c.c.c} \right)$ nên $\widehat {SCA} = \widehat {SCB} \Rightarrow \cos \widehat {SCA} = \cos \widehat {SCB}$

Do đó $CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB} = 0$ (do $CA = CB$) hay $\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = 0$

Vậy $SC \bot AB$.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AC$, $BD.$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}MI = NI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\\MI{\text{ // }}AB{\text{ // }}NJ,MJ//CD//IN\end{array} \right. \Rightarrow MINJ$ là hình thoi.

Gọi $O$ là giao điểm của $MN$ và $IJ$.

Ta có: $\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}$.

Xét $\Delta MIO$ vuông tại $O$, ta có: $\cos \widehat {MIO} = \dfrac{{IO}}{{MI}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MIO} = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {MIN} = 60^\circ$

Mà: $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN} = 60^\circ$

Ta có: $AC{\rm{ // }}A'C'$ (tính chất của hình hộp)

$\Rightarrow \left( {AC,A'D} \right) = \left( {A'C',A'D} \right) = \widehat {DA'C'}$ (do giả thiết cho $\Delta DA'C'$ nhọn).

$\left. \begin{array}{l}AB \bot AE\\AE\,{\rm{//}}\,DH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot DH$ $\Rightarrow \widehat {\left( {AB,DH} \right)} = 90^\circ$

Do $O,O'$ là tâm các hình vuông $ABCD,ABC'D'$ nên $O,O'$ là trung điểm của $BD,BD'$.

Do đó $OO'$ là đường trung bình của tam giác $BDD'$ $\Rightarrow \overrightarrow {OO'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DD'}$

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {AB} .\dfrac{1}{2}\overrightarrow {DD'}  = \dfrac{1}{2}.\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD'}  - \overrightarrow {AD} } \right)$ $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD'}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 - 0 = 0$

Do đó góc giữa $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {OO'}$ bằng ${90^0}$

Ta có $BAC$ và $BAD$ là 2 tam giác đều, $I$ là trung điểm của $AB$ nên $CI = DI$ (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh $AB$) nên $CID$ là tam giác cân ở $I$. Do đó $IJ \bot CD$

Ta có $\cos \left( {AB,CD} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{AB.CD}}$

Mặt khác $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

$\begin{array}{l} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = AB.AD.\cos 60^\circ  - AB.AC.\cos 60^\circ \\ = AB.AD.\dfrac{1}{2} - AB.\dfrac{3}{2}AD.\dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{4}AB.AD =  - \dfrac{1}{4}AB.CD.\end{array}$

Do có $\cos \left( {AB,CD} \right) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{4}AB.CD} \right|}}{{AB.CD}} = \dfrac{1}{4}$.

Vậy $\cos \varphi  = \dfrac{1}{4}$.

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$

$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$

Lại có:

 $\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {G{\rm{D}}}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$

Ta có: $AC = a\sqrt 2$

$\Rightarrow A{C^2} = 2{a^2} = S{A^2} + S{C^2}$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$.

Khi đó: $\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {SC}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0$ $\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {SC} } \right) = 90^\circ$

$\Rightarrow \left( {MN,SC} \right) = 90^\circ$

Ta có: $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BB'} .\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right)$ $= \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  = 0$

(vì $\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {90^0}$ và $\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^0}$)

Do đó: $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = {90^0} \Rightarrow \widehat {\left( {AA',B'D'} \right)} = {90^0}$

Đáp án A: ${\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\vec a^2} + {\vec b^2} + 2\vec a.\vec b$ $= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ $= {3^2} + {5^2} + 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 19$

Do đó $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19}$

Đáp án B: ${\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2}$$= {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}$ $= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ $= {3^2} - 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {5^2} = 49$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = 7$ nên B đúng.

Đáp án C: ${\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right)^2}$ $= {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2}$ $= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ $= {3^2} - 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 139$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {139}$ nên C đúng.

Đáp án D: ${\left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right)^2}$ $= {\overrightarrow a ^2} + 4\overrightarrow a \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2}$ $= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ $= {3^2} + 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 79$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {79}$ nên D sai.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE} \\\overrightarrow {EG}  = \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) = A{B^2} + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD}  = A{B^2}\\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} }}{{\left| {\overrightarrow {AF} } \right|.\left| {\overrightarrow {EG} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt 2 .a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {\overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {EG} } \right)} = {60^0}\end{array}$

A đúng vì:

$\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot B'D'\\B'D'{\rm{ // }}BD\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot BD$.

C đúng vì: $\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\AB'{\rm{ // }}DC'\end{array} \right. \Rightarrow A'B \bot DC'$.

D đúng vì: $\left\{ \begin{array}{l}BC' \bot B'C\\B'C{\rm{ // }}A'D\end{array} \right. \Rightarrow BC' \bot A'D$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}AB\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MQ\end{array} \right.$ $\Rightarrow MQ{\rm{//}}AB$

Tương tự ta có: $MN{\rm{//}}CD,\,\,NP{\rm{//}}AB,\,\,QP{\rm{//}}C{\rm{D}}$.

Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành

 lại có $MN \bot MQ\left( {do\,AB \bot CD\,} \right)$.

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.