Hai đường thẳng vuông góc

Xét tứ giác $MNPQ$ có $\left\{ \begin{array}{l}MQ{\rm{//}}NP{\rm{//}}AB\\MN{\rm{//}}PQ{\rm{//}}CD\end{array} \right.$$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.

Mặt khác, $AB \bot CD \Rightarrow MQ \bot MN$. Do đó, $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Vì $MQ{\rm{//}}AB$ nên $\dfrac{{MQ}}{{AB}} = \dfrac{{CM}}{{CB}} = x \Rightarrow MQ = x.AB = 6x$.

Theo giả thiết $MC = x.BC \Rightarrow BM = \left( {1 - x} \right)BC$.

Vì $MN{\rm{//}}CD$ nên $\dfrac{{MN}}{{CD}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} = 1 - x \Rightarrow MN = \left( {1 - x} \right).CD = 6\left( {1 - x} \right)$.

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là

${S_{MNPQ}} = MN.MQ = 6\left( {1 - x} \right).6x = 36.x.\left( {1 - x} \right) \le 36{\left( {\dfrac{{x + 1 - x}}{2}} \right)^2} = 9$ .

Ta có ${S_{MNPQ}} = 9$ khi $x = 1 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ .

Vậy diện tích tứ giác $MNPQ$ lớn nhất bằng $9$ khi $M$ là trung điểm của $BC$.

Bước 1:

$CD||AB \Rightarrow \widehat {\left( {SA,CD} \right)}$$= \widehat {\left( {SA,AB} \right)} = \widehat {SAB}$

Bước 2:

Vì tam giác SAB là tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat {SAB} = 60^\circ$

Vậy góc giữa SA và CD là ${60^0}$