Hệ bất phương trình

Dễ thấy $x =  - \dfrac{1}{4};y =  - 1$ thỏa mãn cả hai bất phương trình nên $\left( { - \dfrac{1}{4}; - 1} \right) \in S$, do đó A sai.

Ta sẽ biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):2x - \dfrac{3}{2}y = 1$

$\left( {{d_2}} \right):4x - 3y = 2$

Thử trực tiếp ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ là nghiệm của bất phương trình (2) vì 4.0-3.0 < 2 (đúng)

Nhưng (0;0) không phải là nghiệm của bất phương trình (1) vì $2.0 - \dfrac{3}{2}.0 < 1$.

Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng $\left( d \right):4x - 3y = 2.$

Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

     $\left( {{d_1}} \right):x - y = 2$

     $\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15$

     $\left( {{d_3}} \right):x = 0$

     $\left( {{d_4}} \right):y = 0$

- Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên nên A đúng.

- Đáp án B sai vì nếu $m = 5$ ta vẽ đường thẳng $x + y = 5$ sẽ không có giao điểm với miền nghiệm của hệ.

- Ta sẽ tìm GTLN, GTNN của biểu thức $F\left( {x;y} \right) = x + y$ với $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm của hệ.

Ta có:

$\begin{array}{l}F\left( {0;3} \right) = 0 + 3 = 3,F\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{9}{8}} \right) = \dfrac{{25}}{8} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{{17}}{4},\\F\left( {2;0} \right) = 2 + 0 = 2,F\left( {0;0} \right) = 0 + 0 = 0\end{array}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 < x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 > x\\x <  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x <  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - 3.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \le 0\\x - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\x > m\end{array} \right.$.

Do đó hệ có nghiệm khi $m < 1$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x - 1}}{3} >  - x + 1\\\dfrac{{4 - 3x}}{2} < 3 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 >  - 3x + 3\\4 - 3x < 6 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x > 4\\ - x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{4}{5}\\x >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{4}{5}$.

Bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\5 - 3x \le 2x - 6\\3x \le x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x\\11 \le 5x\\2x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x \ge \dfrac{{11}}{5}\\x \le \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{5} \le x \le \dfrac{5}{2}$.

Suy ra $a + b = \dfrac{{11}}{5} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{{47}}{{10}}.$

Bất phương trình $2x - 1 > 0$ có tập nghiệm ${S_1} = \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right).$

Bất phương trình $x - m < 2$ có tập nghiệm ${S_2} = \left( { - \infty ;m + 2} \right).$

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi ${S_1} \cap {S_2} \ne \,\emptyset \, \Leftrightarrow m + 2 > \dfrac{1}{2}\, \Leftrightarrow m >  - \dfrac{3}{2}.$

Bất phương trình ${x^2} - 1 \le 0$ có tập nghiệm ${S_1} = \left[ { - 1;1} \right]$ .

Bất phương trình $x - m > 0$ có tập nghiệm ${S_2} = \left( {m; + \infty } \right)$ .

Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset  \Leftrightarrow m < 1$.

Hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.$.

- Với $m = 0$, ta có hệ bất phương trình trở thành $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.$: hệ bất phương trình vô nghiệm.

- Với $m \ne 0$, ta có hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \dfrac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \dfrac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.$.

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\dfrac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \dfrac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}$.

Vậy $0 \ne m < \dfrac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.

Bất phương trình $2x - 1 \ge 3 \leftrightarrow x \ge 2 \Rightarrow {S_1} = \left[ {2; + \infty } \right).$

Bất phương trình $x - m \le 0 \leftrightarrow x \le m \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;m} \right]$.

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2}$ là tập hợp có đúng một phần tử $\Leftrightarrow 2 = m.$

Bất phương trình $3x + 4 > x + 9 \leftrightarrow 2x > 5 \leftrightarrow x > \dfrac{5}{2} \Rightarrow {S_1} = \left( {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right).$

Bất phương trình $1 - 2x \le m - 3x + 1 \leftrightarrow x \le m \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;m} \right]$.

Để hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} = \emptyset  \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{2}.$

Bất phương trình $3x + 5 \ge x - 1 \leftrightarrow 2x \ge  - 6 \leftrightarrow x \ge  - 3 \Rightarrow {S_1} = \left[ { - 3; + \infty } \right).$

Bất phương trình ${\left( {x + 2} \right)^2} \le {\left( {x - 1} \right)^2} + 9 \leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 \le {x^2} - 2x + 1 + 9$

$\leftrightarrow 4x + 4 \le  - 2x + 1 + 9 \leftrightarrow 6x \le 6 \leftrightarrow x \le 1 \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;1} \right].$

Suy ra ${S_1} \cap {S_2} = \left[ { - 3;1} \right]$.

Bất phương trình $mx + 1 > \left( {m - 2} \right)x + m \leftrightarrow mx + 1 > mx - 2x + m$

$\leftrightarrow 1 >  - 2x + m \leftrightarrow 2x > m - 1 \leftrightarrow x > \dfrac{{m - 1}}{2} \Rightarrow {S_3} = \left( {\dfrac{{m - 1}}{2}; + \infty } \right).$

Để hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left( {{S_1} \cap {S_2}} \right) \cap {S_3} = \emptyset  \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1}}{2} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 3.$

Theo đề bài, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\\dfrac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\\3x \le x + 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\5 - 3x \le 2x - 6\\3x \le x + 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\5x \ge 11\\2x \le 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x \ge \dfrac{{11}}{5}\\x \le \dfrac{5}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \dfrac{{11}}{5} \le x \le \dfrac{5}{2}$

Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm $S = \left[ {\dfrac{{11}}{5};\,\,\dfrac{5}{2}} \right]$$\Rightarrow a = \dfrac{{11}}{5},\,\,b = \dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow a + b = \dfrac{{11}}{5} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{{47}}{{10}}$