Bài toán về đồ thị hàm số bậc hai

Bề lõm của đồ thị quay xuống dưới nên hệ số $a < 0$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung nằm trên trục có tung độ dương nên $c > 0$.

Hoành độ đỉnh $x =  - \dfrac{b}{{2a}} < 0$. Mà $a < 0$ nên $b < 0$.

Vì $M,\,\,N \in \left( P \right)$ nên tọa độ của hai điểm M, N phải thỏa mãn phương trình của $\left( P \right)$.

Do đó, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5 = a + b + 2\\ - 2 = 4a + 2b + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 5\\b = 8\end{array} \right.$.

Vậy phương trình của $\left( P \right)$là: $y =  - 5{x^2} + 8x + 2$.

$\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {3;\,\, - 4} \right)$ nên $ - 4 = 9a + 3b - 5 \Leftrightarrow 9a + 3b = 1$.

Trục đối xứng $x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b = 3a$.

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b = 1\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{18}}\\b = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.$.

Vậy phương trình của $\left( P \right)$là: $y = \dfrac{1}{{18}}{x^2} + \dfrac{1}{6}x - 5$.

Ta có đỉnh của $\left( P \right)$có tọa độ $\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{b}{{2a}} = 3\\y = 9a + 3b + 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a + b = 0\\9a + 3b =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{5}{9}\\b =  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.$.

Suy ra phương trình của Parabol $\left( P \right)$là: $y = \dfrac{5}{9}{x^2} - \dfrac{{10}}{3}x + 3$.

Phương trình $\left( P \right)$ có dạng $y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ thuộc $\left( P \right)$ nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình $\left( P \right)$

Do đó, ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}2 = a{.0^2} + b.0 + c\\5 = a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c\\8 = a{.3^2} + b.3 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{{10}}\\b =  - \dfrac{1}{{10}}\\c = 2\end{array} \right.$

Suy ra phương trình của $\left( P \right)$ là: $y = \dfrac{7}{{10}}{x^2} - \dfrac{1}{{10}}x + 2$

$2{x^2} - 2x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x = m - 1$

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của Parabol $\left( P \right):\,\,y = 2{x^2} - 2x$ và đường thẳng $y = m - 1$ có tính chất song song với trục hoành.

Parabol (P) có tọa độ đỉnh \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi $m - 1 >  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}$

Dễ thấy rằng đồ thị của $\left( P \right)$ có đỉnh đặt trên đường thẳng $y = 1$ và hệ số $m < 0.$

Do đó, phương trình của $\left( P \right)$ có dạng $y = m{\left( {x - u} \right)^2} + 1\,\,\left( {m < 0} \right)$.

$\left( P \right)$đi qua các điểm $A\left( {2;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\, - 8} \right)$ nên có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}m{\left( {2 - u} \right)^2} + 1 = 0\\m{\left( { - 2 - u} \right)^2} + 1 =  - 8\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}}\\m =  - \dfrac{9}{{{{\left( { - 2 - u} \right)}^2}}}\end{array} \right.$$ \Rightarrow  - \dfrac{1}{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}} =  - \dfrac{9}{{{{\left( { - 2 - u} \right)}^2}}}$

$ \Rightarrow {\left( {u + 2} \right)^2} = 9{\left( {2 - u} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 8{u^2} - 40u + 32 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u = 4\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\m =  - 1\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 4\\m =  - \dfrac{1}{4}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$

Từ đây có hai phương trình $\left( P \right)$ thỏa mãn là $y =  - {x^2} + 2x,\,\,\,y =  - \dfrac{1}{4}{x^2} + 2x - 3$.

Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 5$ hoặc ${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{{209}}{{16}}$.

Dễ thấy rằng phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt vì \(a.c = 1.\left( { - 1} \right) < 0\) và hai giao điểm có cùng tung độ và có hoành độ đối xứng với nhau qua trục đối xứng $x = \dfrac{{{m^2} + 1}}{2}$.

Từ đây suy ra $T = {x_1} + {x_2} = {m^2} + 1 \ge 1\,\,\forall m$

Suy ra ${T_{\min }} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)_{\min }} = 1$ và đạt được khi $m = 0$.

Có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 1 = m\left( {m + 2} \right)\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m\left( {m + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 2\end{array} \right.\)

Khi đó dạng đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 1\) chỉ có thể là:

Quan sát đồ thị ta thấy:  

Yêu cầu bài toán tương đương $f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 0$

Kết hợp điều kiện có hai nghiệm phân biệt ta được $m>0$

Yêu cầu bài toán tương đương tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 4\) luôn nằm phía trên trên trục hoành.

Suy ra với giá trị ${x_0}$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho lớn hơn hoặc bằng $0.$

Parabol có hệ số $a = 2 > 0$ nên có bề lõm hướng lên trên đạt GTNN tại đỉnh parabol \(x = \dfrac{{m + 1}}{2}\)

Điều này tương đương với $y\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right)\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right) + {m^2} - 2m + 4 \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{m^2} - 6m + 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 3 + \sqrt 2 \\m \le 3 - \sqrt 2 \end{array} \right.$

Đặt $t = x + 2 \Rightarrow x = t - 2$, từ đẳng thức trên ta suy ra $f\left( t \right) = {\left( {t - 2} \right)^2} - 3\left( {t - 2} \right) + 2 = {t^2} - 7t + 12$.

Suy ra $f\left( x \right) = {x^2} - 7x + 12 $

$={x^2} - 2.\dfrac{7}{2}x+ {\left( { \dfrac{7}{2}} \right)^2}- \dfrac{1}{4}$

$= {\left( {x - \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} \ge  - \dfrac{1}{4}$ $\forall x \in R$

Vậy $Minf\left( x \right) =  - \dfrac{1}{4}$ khi \(x = \dfrac{7}{2}\).

Ta có $f\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right) - 3 $ $= {x^2} - 4$

Với trục đối xứng $x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - 1$ và hệ số $a = 1 > 0$ thì hàm số đồng biến trên $\left( { - 1;\,\, + \infty } \right)$

Biến đối $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4 \ge  - 4$ $ \Rightarrow $ GTNN của hàm số là $-4 < 0$

Dễ thấy $f\left( x \right) = m \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = m + 4$ nên để phương trình có nghiệm thì $m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 4$

Trục đối xứng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{m}{2}\)

Với hệ số $a = 1 > 0$ thì hàm số đã cho đồng biến trên $\left( { - \dfrac{m}{2};\,\, + \infty } \right)$.

Vậy để hàm số luôn đồng biến trên $\left( {1;\,\, + \infty } \right)$ thì $ - \dfrac{m}{2} \le 1 \Leftrightarrow m \ge  - 2$.

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại $x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  1$. Khi đó $\max y = f\left( 1 \right) = m - 4$

Để $\max y = 6$ thì $m - 4 = 6 \Leftrightarrow m = 10$

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\left( * \right)$.

Để đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x + m - 1$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 1 > 0\\2 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\).

Điểm $A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ là điểm cố định của họ $\left( {{P_m}} \right)$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}{y_0} = x_0^2 + \left( {2 - m} \right){x_0} + 3m \Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} - {y_0} - m\left( {{x_0} - 3} \right) = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + 2{x_0} - {y_0} = 0\\{x_0} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} = 15\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $A\left( {3;\,\,15} \right)$.

Ta có : \({\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 2\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + 2 \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2\)

Biến đổi biểu thức $P$ về dạng $P = 3{\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 6 - 8\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) = 3{\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 8\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) - 6$

Đặt $t = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2}$.

Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\,\,\forall x,y\) với hai số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{b}{a}\) ta có : ${t^2} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} \ge 4\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a} = 4 \Leftrightarrow \left| t \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 2\end{array} \right.$

Biểu thức $P$ trở thành $P = 3{t^2} - 8t - 6$.

Trục đối xứng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{4}{3}\) và hệ số $a = 3 > 0.$

Suy ra hàm số $f\left( t \right) = 3{t^2} - 8t - 6$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\dfrac{4}{3}} \right)$ và đồng biến trên khoảng$\left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right)$.

BBT :

Từ đây suy ra hàm số $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 2\)

Ta có $f\left( 2 \right) =  - 10$.

Vậy $\min P = \min f\left( t \right) =  -10$.

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|$ với đường thẳng $y = m$ có tính chất song song với trục hoành.

Ta có $y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2\,\,\,\,({x^2} - 3x + 2 \ge 0)\\ - {x^2} + 3x - 2\,\,\,\left( {{x^2} - 3x + 2 < 0} \right)\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\) được vẽ như sau:

+ Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\)

+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành và xóa phần đồ thị dưới trục hoành đi.

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0 < m < \dfrac{1}{4}$.

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^2} - 4\left| x \right| + 3 = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}{x^2} - 4x + 3\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\dfrac{1}{2}{x^2} + 4x + 3\,\,\,\,\left( {x < 0} \right)\end{array} \right.$ và đường thẳng $y = {m^2}$ có tính chất song song với trục hoành.

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^2} - 4\left| x \right| + 3$ được vẽ như sau :

+ Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.

+ Giữ nguyên nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm $y = \dfrac{1}{2}{x^2} - 4x + 3$ và xóa nhánh bên trái trục tung.

+ Giữ nguyên nhánh bên trái trục tung của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + 4x + 3$ và xóa nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm số đó.

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ${m^2} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 $.

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x + \left| {2x - 3} \right|$ và đường thẳng $y = m$ có tính chất song song với trục hoành.

Đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x + \left| {2x - 3} \right| = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2x - 3 = {x^2} - 3\,\,\left( {{P_1}} \right)\,\,khi\,\,x \ge \dfrac{3}{2}\\{x^2} - 2x - 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3\,\,\left( {{P_2}} \right)\,\,khi\,x < \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$ được vẽ như sau:

+ Vẽ lần lượt hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ

+ Xóa đi nhánh bên trái điểm \(x = \dfrac{3}{2}\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3\)

+ Xóa đi nhánh bên phải điểm \(x = \dfrac{3}{2}\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) là : \(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{3}{4}} \right)\)

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m =  - \dfrac{3}{4}$.