Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) - 8\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có : \({\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 2\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + 2 \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 2\)
Biến đổi biểu thức $P$ về dạng $P = 3{\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 6 - 8\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) = 3{\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} - 8\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right) - 6$
Đặt $t = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2}$.
Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\,\,\forall x,y\) với hai số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{b}{a}\) ta có : ${t^2} = {\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)^2} \ge 4\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a} = 4 \Leftrightarrow \left| t \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le - 2\end{array} \right.$
Biểu thức $P$ trở thành $P = 3{t^2} - 8t - 6$.
Trục đối xứng \(x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{4}{3}\) và hệ số $a = 3 > 0.$
Suy ra hàm số $f\left( t \right) = 3{t^2} - 8t - 6$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\dfrac{4}{3}} \right)$ và đồng biến trên khoảng$\left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right)$.
BBT :
Từ đây suy ra hàm số $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 2\)
Ta có $f\left( 2 \right) = - 10$.
Vậy $\min P = \min f\left( t \right) = -10$.
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\) và tìm điều kiện cho \(t\) dựa theo bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\).
- Biến đổi \(P = f\left( t \right)\) và tìm GTNN của \(f\left( t \right)\) với điều kiện của \(f\left( t \right)\) tìm được ở trên.
