Câu hỏi:
2 năm trước
Cho phương trình của $\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ biết rằng hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( {2;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\, - 8} \right)$. Tình tổng ${a^2} + {b^2} + {c^2}$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Dễ thấy rằng đồ thị của $\left( P \right)$ có đỉnh đặt trên đường thẳng $y = 1$ và hệ số $m < 0.$
Do đó, phương trình của $\left( P \right)$ có dạng $y = m{\left( {x - u} \right)^2} + 1\,\,\left( {m < 0} \right)$.
$\left( P \right)$đi qua các điểm $A\left( {2;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\, - 8} \right)$ nên có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}m{\left( {2 - u} \right)^2} + 1 = 0\\m{\left( { - 2 - u} \right)^2} + 1 = - 8\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}}\\m = - \dfrac{9}{{{{\left( { - 2 - u} \right)}^2}}}\end{array} \right.$$ \Rightarrow - \dfrac{1}{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}} = - \dfrac{9}{{{{\left( { - 2 - u} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow {\left( {u + 2} \right)^2} = 9{\left( {2 - u} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 8{u^2} - 40u + 32 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u = 4\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\m = - 1\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 4\\m = - \dfrac{1}{4}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$
Từ đây có hai phương trình $\left( P \right)$ thỏa mãn là $y = - {x^2} + 2x,\,\,\,y = - \dfrac{1}{4}{x^2} + 2x - 3$.
Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 5$ hoặc ${a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{{209}}{{16}}$.
Hướng dẫn giải:
- Hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có GTLN bằng \({y_0}\) đạt được tại \({x_0}\) nên nó viết được dưới dạng $y = a{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {y_0}\left( {a < 0} \right)$.
- \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) nếu và chỉ nếu tọa độ của \(M\) thỏa mãn phương trình \(\left( P \right)\).
