Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} - 2x + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} = m$ có nghiệm duy nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x + \left| {2x - 3} \right|$ và đường thẳng $y = m$ có tính chất song song với trục hoành.
Đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x + \left| {2x - 3} \right| = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2x - 3 = {x^2} - 3\,\,\left( {{P_1}} \right)\,\,khi\,\,x \ge \dfrac{3}{2}\\{x^2} - 2x - 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3\,\,\left( {{P_2}} \right)\,\,khi\,x < \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$ được vẽ như sau:
+ Vẽ lần lượt hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ
+ Xóa đi nhánh bên trái điểm \(x = \dfrac{3}{2}\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3\)
+ Xóa đi nhánh bên phải điểm \(x = \dfrac{3}{2}\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) là : \(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{3}{4}} \right)\)
Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m = - \dfrac{3}{4}$.
Hướng dẫn giải:
Vẽ đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} = {x^2} - 2x + \left| {2x - 3} \right|$ : xét mỗi trường hợp \(x \ge \dfrac{3}{2}\) và \(x < \dfrac{3}{2}\) rồi vẽ đồ thị mỗi hàm số có được trên từng khoảng đang xét.
Từ đó nhận xét số nghiệm của phương trình là số giao điểm đường thẳng \(y = m\) với đồ thị hàm số vừa vẽ.
