Phương trình lượng giác cơ bản
Kỳ thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm?
Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm nếu \(\left| m \right| \le 1\) và vô nghiệm nếu \(\left| m \right| > 1\)
Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại
Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại
Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận
Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại
Cho phương trình \(\sin x = \sin \alpha \). Chọn kết luận đúng.
\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Nghiệm của phương trình \(\sin x = - 1\) là:
Ta có: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chọn mệnh đề sai:
Đáp án A: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A đúng.
Đáp án B: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, C sai.
Đáp án D: \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên D đúng.
Nghiệm của phương trình \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ là:
Bước 1:
Ta có: \(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Bước 3:
+) Xét $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$
Ta có $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2} $
\(\begin{array}{l} - \dfrac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{{2\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{1}{6}\end{array}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Thay vào x ta được: \(x = \dfrac{\pi }{6}\)
+) Xét \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)
\(\begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{4\pi }}{3} \le k2\pi \le - \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{{4\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le - \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} \le k \le - \dfrac{1}{6}\end{array}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị k thỏa mãn
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\)
Số nghiệm của phương trình \(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0\) với \(\pi \le x \le 5\pi \) là:
Ta có:
\(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Mà \(\pi \le x \le 5\pi \Rightarrow \pi \le \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi \Leftrightarrow \dfrac{{3\pi }}{4} \le k2\pi \le \dfrac{{19\pi }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} \le k \le \dfrac{{19}}{8} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm trong đoạn \(\left[ {\pi ;5\pi } \right]\).
Nghiệm của phương trình \(\sin x.\cos x = 0\) là:
Bước 1:
\(\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 2x = 0\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chọn mệnh đề đúng:
Ta có:
+) \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A sai.
+) \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, D sai.
+) \(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên C sai.
Nghiệm của phương trình \(2\cos x - 1 = 0\) là:
Ta có: \(2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) với \(0 \le x \le 2\pi \) là:
Ta có: \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \) \(\Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos \dfrac{\pi }{4}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Vì \(0 \le x \le 2\pi \) nên \(0 \le - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \le 2\pi \) \(\Leftrightarrow \dfrac{\pi }{{12}} \le k2\pi \le \dfrac{{25\pi }}{{12}} \) \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} \le k \le \dfrac{{25}}{{24}} \Rightarrow k = 1\)
Và \(0 \le - \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \le 2\pi \) \( \Leftrightarrow \dfrac{{7\pi }}{{12}} \le k2\pi \le \dfrac{{31\pi }}{{12}} \) \(\Leftrightarrow \dfrac{7}{{24}} \le k \le \dfrac{{31}}{{24}} \Rightarrow k = 1\)
Vậy có hai nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
Nghiệm của phương trình \(\cos 3x = \cos x\) là:
Bước 1:
Ta có: $\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\4x = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. $
Bước 2:
+) Với họ nghiệm $x=k\pi$ ta có:
Khi $k=0$ thì $x=0$, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k chẵn)
Khi $k=1$ thì $x=\pi$, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k lẻ).
Như thế họ nghiệm $x=k\pi$ có $2$ điểm biểu diễn là $A,A'$.
+) Với họ nghiệm $x= \dfrac{{k\pi }}{2}$ ta có:
Khi $k=0$ thì $x=0$, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m, tức là k chia hết cho 4)
Khi $k=1$ thì $x= \dfrac{{\pi }}{2}$, điểm biểu diễn là B (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+1).
Khi $k=2$ thì $x= \pi$, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+2).
Khi $k=3$ thì $x= \dfrac{{3\pi }}{2}$, điểm biểu diễn là B' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+3).
Như thế họ nghiệm $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ có $4$ điểm biểu diễn là $A,A',B,B'$.
+) Kết hợp các điểm này lại ta được tổng cộng vẫn là 4 điểm $A,A',B,B'$. Mà 4 điểm này là 4 điểm biểu diễn của chính họ nghiệm $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ nên nghiệm của phương trình ban đầu là $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ $k \in Z$.
Nghiệm của phương trình \({\sin ^2}x-\sin x = 0\) thỏa điều kiện: \(0 < x < \pi \).
Bước 1:
\({\sin ^2}x-\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right.\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bước 3:
Xét $x = k\pi,k \in \mathbb{Z}$:
Vì \(0 < x < \pi \) nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:
\(0 < k\pi < \pi \Leftrightarrow 0<k<1\)
Ta không thể tìm được số nguyên nào thỏa mãn điều trên
=> Không có số $k$ trong trường hợp này.
Xét $x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$:
Vì \(0 < x < \pi \) nên nghiệm của phương trình thỏa mãn:
\(0 <\dfrac{\pi }{2} + k2\pi<\pi \Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{2} <k2\pi<\dfrac{\pi }{2} \)
\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{1}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Thay vào x ta được:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + 0 = \dfrac{\pi }{2}\)
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là \(x= \dfrac{\pi }{2}\)
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
Ta có:
\(\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =\left( { \dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \\3x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:
Ta có: \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Phương trình \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x\) có nghiệm:
Bước 1:
Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 2:
Ta có: \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = x + k\pi \) \(\Leftrightarrow - \dfrac{x}{2} = k\pi \Leftrightarrow - x = 2k\pi \) \(\Leftrightarrow x = - k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) (*)
Đặt \(k = - l\) nên:
(*)\(\Leftrightarrow x = l2\pi \left( {l \in Z} \right)\) (TMĐK)
Phương trình \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0\) có nghiệm là:
ĐKXĐ: \(\sin \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{40}} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
Ta có:
\(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \(\Leftrightarrow 5x = \dfrac{{5\pi }}{8} + k\pi \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Do \(\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D\) nên tập nghiệm của phương trình là \(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Nghiệm của phương trình \(\tan 4x.\cot 2x = 1\) là:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 4x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó, dễ thấy \(\cot 2x \ne 0\) (Nếu \(\cot 2x = 0\) thì phương trình thành 0=1 =>Vô nghiệm) nên phương trình tương đương:
\(\tan 4x.\cot 2x = 1 \Leftrightarrow \tan 4x = \dfrac{1}{{\cot 2x}} \\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan 2x \Leftrightarrow 4x = 2x + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)
Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.
Phương trình \(\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) có nghiệm là:
Bước 1:
Ta có: \(\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1 \)\(\Leftrightarrow \cot x - 2\cot 2x = 1\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\)
Bước 2:
Khi đó phương trình tương đương:
\(\begin{array}{l}\cot x - 2\cot 2x = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - 2.\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}} = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - \dfrac{{\tan x.\cot x - {{\tan }^2}x}}{{\tan x}} = 1\\ \Leftrightarrow \cot x - \left( {\cot x - \tan x} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\left( {TMDK} \right)\end{array}\)